Sylow 定理（Sylow theorems）描述有限群中极大素数幂阶子群的存在性、共轭性和数目，是把群阶的算术分解转化为群结构信息的基本工具。它们给出了 Lagrange 定理的一类重要部分逆命题：虽然群阶的任意因数未必是某个子群的阶，但群阶中出现的每个素数幂因子都能由子群实现。[1 , pp. 1-18] [2 , pp. 584-594]
定义与记号
设 \(G\) 是有限群，\(p\) 是素数，并将群阶唯一写成
\[
|G|=p^a m,\qquad a\geq 0,\qquad p\nmid m.
\]
p-子群与 Sylow p-子群
若子群 \(P\leq G\) 的阶是 \(p\) 的幂，则称 \(P\) 为 \(G\) 的 p-子群 。若 \(|P|=p^a\) ，即 \(P\) 的阶达到 Lagrange 定理所允许的最大 \(p\) -幂，则称 \(P\) 为 \(G\) 的 Sylow p-子群 。
全体 Sylow \(p\) -子群组成的集合记作
\[
\operatorname{Syl}_p(G),
\]
其基数记作 \(n_p(G)\) ，在上下文明确时简写为 \(n_p\) 。在已经知道 Sylow 定理之后，“阶为 \(p^a\) ”也等价于“按包含关系极大的 \(p\) -子群”；但后一表述的等价性本身依赖存在性与包含性结论，不应在证明定理之前循环使用。
定理陈述
Sylow 定理
设 \(G\) 是有限群，\(|G|=p^a m\) 且 \(p\nmid m\) 。
存在性 ：\(G\) 含有阶为 \(p^a\) 的子群；更一般地，对每个 \(0\leq b\leq a\) ，\(G\) 都含有阶为 \(p^b\) 的子群。包含性与共轭性 ：每个 \(p\) -子群都包含在某个 Sylow \(p\) -子群中；任意两个 Sylow \(p\) -子群在 \(G\) 中共轭。数目条件 ：若 \(P\in\operatorname{Syl}_p(G)\) ，则\[
n_p(G)=|G:N_G(P)|,
\]
从而 \(n_p(G)\mid m\) ，并且
\[
n_p(G)\equiv 1\pmod p.
\]
不同教材对“三条 Sylow 定理”的编号习惯并不完全一致。Isaacs 将存在、共轭、包含分别称为 Sylow E、C、D；本词条按逻辑内容组织，而不把编号当成定理的一部分。[1 , thms. 1.7, 1.12, 1.14]
存在性的 Wielandt 证明
以下证明的核心是一个二项式系数同余和一个非构造性的群作用。Wielandt 的短证发表于 1954 年；Isaacs 采用了这一证明路线。[3 ] [1 , thm. 1.7]
二项式系数引理
若 \(p\) 为素数，\(a\geq 0\) 且 \(m\geq 1\) ，则
\[
\binom{p^a m}{p^a}\equiv m\pmod p.
\]
二项式系数引理的证明
在系数模 \(p\) 的多项式环中，由于中间二项式系数 \(\binom pi\) （\(1\leq i<p\) ）都被 \(p\) 整除，故
\[
(1+X)^p\equiv 1+X^p\pmod p.
\]
反复使用这一同余得到
\[
(1+X)^{p^a}\equiv 1+X^{p^a}\pmod p,
\]
进而
\[
(1+X)^{p^a m}\equiv (1+X^{p^a})^m\pmod p.
\]
比较两边 \(X^{p^a}\) 的系数，左边是 \(\binom{p^a m}{p^a}\) ，右边是 \(m\) ，结论成立。
Sylow 存在定理的证明
令 \(\Omega\) 为 \(G\) 的所有 \(p^a\) 元子集组成的集合。\(G\) 通过右乘作用于 \(\Omega\) ：对 \(X\in\Omega\) 和 \(g\in G\) ，定义 \(X\cdot g=Xg\) 。由二项式系数引理，
\[
|\Omega|=\binom{p^a m}{p^a}\equiv m\not\equiv 0\pmod p.
\]
\(\Omega\) 是若干 \(G\) -轨道的不交并。若每条轨道的大小都被 \(p\) 整除，则 \(|\Omega|\) 也会被 \(p\) 整除，矛盾。因此存在一条轨道 \(\mathcal O\) ，使 \(p\nmid |\mathcal O|\) 。
取 \(X\in\mathcal O\) ，令 \(H=G_X\) 为 \(X\) 的稳定子。轨道—稳定子定理给出
\[
|\mathcal O|=|G:H|.
\]
因为 \(p^a\mid |G|\) 而 \(p\nmid |G:H|\) ，所以 \(p^a\mid |H|\) 。另一方面，\(H\) 稳定 \(X\) ；任取 \(x\in X\) ，都有 \(xH\subseteq X\) ，故
\[
|H|=|xH|\leq |X|=p^a.
\]
于是 \(|H|=p^a\) ，\(H\) 就是 Sylow \(p\) -子群。
若要得到每个较小阶 \(p^b\) 的子群，可在 Sylow \(p\) -子群内部使用有限 \(p\) -群的正规子群链：非平凡有限 \(p\) -群中心非平凡，并可逐次构造指数为 \(p\) 的正规子群，最终得到每个阶 \(p^b\) 的子群。[1 , cor. 1.25]
包含性与共轭性的证明
每个 p-子群都包含在某个 Sylow p-子群中
先取一个 Sylow \(p\) -子群 \(S\) ，令任意 \(p\) -子群 \(P\) 通过右乘作用于 \(S\) 的右陪集集合
\[
\Omega=\{Sx:x\in G\}.
\]
集合大小 \(|\Omega|=|G:S|=m\) 不被 \(p\) 整除。由于 \(P\) 是 \(p\) -群，它在有限集合上的每条轨道大小都是 \(p\) 的幂；因此轨道分解迫使 \(P\) 至少固定一个陪集 \(Sx\) 。固定条件
\[
Sxh=Sx\qquad(h\in P)
\]
等价于 \(xPx^{-1}\leq S\) 。换言之，\(P\) 包含在某个 \(S\) 的共轭子群中，而该共轭子群仍是 Sylow \(p\) -子群。
Sylow p-子群共轭
若上一个证明中的 \(P\) 本身也是 Sylow \(p\) -子群，则 \(|P|=|S|=p^a\) 。包含关系 \(xPx^{-1}\leq S\) 两边阶相同，因而必有 \(xPx^{-1}=S\) 。所以任意两个 Sylow \(p\) -子群共轭。
该证明同时表明，任意按包含关系极大的 \(p\) -子群必须是 Sylow \(p\) -子群；否则它会真包含在某个 Sylow 子群中。
Sylow 子群数目的证明
共轭性说明 \(G\) 通过共轭传递地作用于 \(\operatorname{Syl}_p(G)\) 。\(P\) 的稳定子恰为正规化子 \(N_G(P)\) ，所以轨道—稳定子定理给出
\[
n_p(G)=|G:N_G(P)|.
\]
由于 \(P\leq N_G(P)\) ，该指数整除 \(|G:P|=m\) 。
同余式 n_p ≡ 1 (mod p)
令 \(P\) 通过共轭作用于 \(\operatorname{Syl}_p(G)\) 。每条 \(P\) -轨道的大小是 \(p\) 的幂，因此非单点轨道的大小都被 \(p\) 整除。
若 \(Q\in\operatorname{Syl}_p(G)\) 被 \(P\) 固定，则 \(P\leq N_G(Q)\) 。在 \(N_G(Q)\) 中，\(Q\) 是正规 Sylow \(p\) -子群，而 \(P\) 也是 \(N_G(Q)\) 的 \(p\) -子群。包含性定理使 \(P\) 包含在 \(N_G(Q)\) 的某个 Sylow \(p\) -子群中；该 Sylow 子群只能是 \(Q\) ，故 \(P\leq Q\) 。两者阶相同，所以 \(P=Q\) 。
因此这一作用恰有一个不动点 \(P\) ，其余轨道大小均被 \(p\) 整除，于是
\[
n_p(G)\equiv 1\pmod p.
\]
直接推论
正规性判据 ：\(P\in\operatorname{Syl}_p(G)\) 正规，当且仅当 \(n_p(G)=1\) 。特征性 ：唯一的 Sylow \(p\) -子群不仅正规，而且是特征子群，因为任意自同构都保持子群阶。Cauchy 定理 ：若 \(p\mid |G|\) ，Sylow 子群非平凡；从其中任取非单位元并取适当幂，可得到阶为 \(p\) 的元素。Frattini 论证 ：若 \(N\triangleleft G\) 且 \(P\in\operatorname{Syl}_p(N)\) ，则\[
G=N_G(P)N.
\]
这是因为对每个 \(g\in G\) ，\(P^g\) 仍是 \(N\) 的 Sylow \(p\) -子群，故在 \(N\) 内与 \(P\) 共轭。[1 , lem. 1.13]
商群与同态像 ：满同态把 Sylow 子群映到商群的 Sylow 子群；反过来，商群的 Sylow 子群可以由原群的某个 Sylow 子群映出。例子
对称群 S3
\(|S_3|=2\cdot 3\) 。由 \(n_3\mid 2\) 且 \(n_3\equiv1\pmod3\) ，得到 \(n_3=1\) ，故 \(A_3\) 是正规 Sylow \(3\) -子群。Sylow \(2\) -子群由三个换位分别生成，所以 \(n_2=3\) ；它们彼此共轭但都不正规。
交错群 A4
\(|A_4|=2^2\cdot3\) 。三个双换位连同单位元构成 Klein 四元群 \(V_4\) ，它是唯一的 Sylow \(2\) -子群，因此正规。八个 \(3\) -循环每两个生成同一个阶为 \(3\) 的循环子群，所以 \(n_3=8/2=4\) ，符合 \(4\mid4\) 且 \(4\equiv1\pmod3\) 。
交错群 A5
\(|A_5|=2^2\cdot3\cdot5\) 。直接按元素计数可得
\[
n_2=5,\qquad n_3=10,\qquad n_5=6.
\]
其中每个 Sylow \(2\) -子群同构于 \(V_4\) ，每个含三个非单位双换位；\(20\) 个 \(3\) -循环给出 \(10\) 个 Sylow \(3\) -子群；\(24\) 个 \(5\) -循环给出 \(6\) 个 Sylow \(5\) -子群。这些数目展示了同余与整除条件的实际作用，也说明它们通常不能单独决定群的同构类型。
奇数边形的二面体群
设二面体群 \(D_{2n}\) 的阶为 \(2n\) ，且 \(n\) 为奇数。最高的 \(2\) -幂因子是 \(2\) ，每条反射生成一个 Sylow \(2\) -子群，共有 \(n\) 个；旋转把这些反射子群彼此共轭。因此 \(n_2=n\equiv1\pmod2\) 。
群阶分类中的应用
设 \(p>q\) 为素数，\(|G|=pq\) 。则
\[
n_p\mid q,\qquad n_p\equiv1\pmod p.
\]
因为 \(q<p\) ，唯一可能是 \(n_p=1\) ，故 Sylow \(p\) -子群正规。进一步，\(n_q\) 只能是 \(1\) 或 \(p\) ；若 \(q\nmid p-1\) ，则 \(p\not\equiv1\pmod q\) ，从而 \(n_q=1\) 。此时两个 Sylow 子群都正规、交平凡并彼此中心化，故
\[
G\cong C_p\times C_q\cong C_{pq}.
\]
当 \(q\mid p-1\) 时，还可能出现非平凡半直积 \(C_p\rtimes C_q\) 。这说明 Sylow 计数不仅能证明正规子群存在，还能把群的分类问题缩减为自同构作用问题。[1 , thm. 1.30]
类似的计数论证可用于阶为 \(p^2q\) 、\(p^3q\) 、\(30\) 、\(56\) 等群，常见目标是强迫某个 Sylow 子群正规，或排除群为单群的可能性。
从习题中提炼的两种证明方法
McKay 的 Cauchy 定理论证
设 \(p\mid |G|\) ，令
\[
\Omega=\{(x_1,\ldots,x_p)\in G^p:x_1x_2\cdots x_p=1\}.
\]
前 \(p-1\) 个坐标可任取，最后一个被唯一确定，故 \(|\Omega|=|G|^{p-1}\) 被 \(p\) 整除。循环群 \(C_p\) 通过循环移位作用于 \(\Omega\) 。单点轨道正是常值元组 \((x,ldots,x)\) ，其中 \(x^p=1\) 。其余轨道大小为 \(p\) ，所以单点轨道数被 \(p\) 整除。单位元贡献一个解，因此满足 \(x^p=1\) 的非单位元个数模 \(p\) 等于 \(-1\) ，特别地至少存在一个阶为 \(p\) 的元素。该证明来自原书习题 1A.8，并给出比“至少存在一个”更强的计数结论。[1 , prob. 1A.8]
由 Cauchy 定理逐步长大 p-子群
设 \(P\) 是 \(G\) 的 \(p\) -子群且 \(p\mid |G:P|\) 。让 \(P\) 右乘作用于自身的右陪集；不动陪集的数目是 \(|N_G(P):P|\) ，轨道计数推出该指数被 \(p\) 整除。于是商群 \(N_G(P)/P\) 的阶被 \(p\) 整除，Cauchy 定理给出其中一个阶为 \(p\) 的子群。取其在 \(N_G(P)\) 中的原像，得到严格包含 \(P\) 且满足 \(|Q:P|=p\) 的 \(p\) -子群 \(Q\) 。反复进行，必在有限步后达到 Sylow 子群。这是原书习题 1B.4 所给的另一条存在性证明路线。[1 , probs. 1A.10, 1B.4]
限制、反例与常见误解
Lagrange 定理的逆命题仍然不成立
\(A_4\) 的阶为 \(12\) ，但它没有阶为 \(6\) 的子群。若有这样的子群，其指数为 \(2\) ，因而正规；对应商群给出非平凡同态 \(A_4\to C_2\) ，但 \(A_4\) 的阿贝尔化为 \(C_3\) ，矛盾。Sylow 定理只保证素数幂阶子群，不保证每个因数都能实现。
“Sylow \(p\) -子群”不表示它是唯一的；唯一性等价于正规性。 不同素数对应的 Sylow 子群通常不会同时正规；若全部正规，有限群就是它们的内部直积，因此幂零。 对一般无限群，把 Sylow \(p\) -子群定义为极大 \(p\) -子群后，有限情形的共轭与计数结论不再自动成立。 Hall \(\pi\) -子群把单个素数推广为素数集合，但存在性与共轭性对任意有限群均可能失败；在有限可解群中才有 Hall 定理保证。参见 Hall 子群 。 历史与形式化
Peter Ludvig Sylow 于 1872 年发表原始论文。Wielandt 后来给出了以固定大小子集上的群作用为核心的短证。现代形式化工作也已在定理证明器中验证有限群、置换群和 Sylow 理论的完整依赖链，说明这些证明可以被拆解为机器可核验的有限步骤。[2 ] [3 ] [4 ]
相关词条
本文参考了 Wikipedia 与 Encyclopedia of Mathematics 的条目结构、历史线索和例子选择，但定理组织、证明和习题提炼依据所列数学来源重新撰写。Wikipedia 修订版本按 CC BY-SA 许可署名。[5 ] [6 ]
参考文献 6 条结构化来源 [1] I. Martin Isaacs. (2008). Finite Group Theory. Graduate Studies in Mathematics 92. pp. 1-44. American Mathematical Society 链接 [2] Ludwig Sylow. (1872). Théorèmes sur les groupes de substitutions. Mathematische Annalen. 5 pp. 584-594 DOI: 10.1007/bf01442913 · 链接 [3] [4] David M. Russinoff. (2023). A Formalization of Finite Group Theory: Part III arXiv: 2311.08854 · 链接 [5] Wikipedia contributors. (2025). 西羅定理. Wikipedia 链接 Revision 89175999; CC BY-SA [6] V. D. Mazurov, Encyclopedia of Mathematics contributors. Sylow theorems. Encyclopedia of Mathematics 链接 缺少年份 