p-群

p-群（p-group）是阶为素数幂的有限群，是有限群局部理论的基本对象。每个有限群在每个素数方向上的最大局部信息由其 Sylow \(p\)-子群承载；而 \(p\)-群自身具有非平凡中心、丰富的正规子群和幂零结构，使归纳法尤其有效。^{[1, pp. 18-28]}

定义与等价形式

由 Lagrange 定理，有限 \(p\)-群中每个元素的阶都是 \(p\) 的幂。反过来，若有限群中每个元素的阶都是 \(p\) 的幂，而群阶还有另一个素因子 \(q\ne p\)，则 Cauchy 定理会给出阶为 \(q\) 的元素，矛盾。因此对有限群，以下条件等价：

1. 群阶是 \(p\) 的幂；
2. 每个元素的阶是 \(p\) 的幂。

对无限群，通常采用第二个条件作为定义；此时许多有限 \(p\)-群结论不再成立，本词条以下主要讨论有限情形。

群作用的模 p 计数

若有限 \(p\)-群 \(P\) 作用于有限集合 \(X\)，则每条轨道大小是 \(p\) 的幂。记全局不动点集为 \(X^P\)，有

这是 \(p\)-群结构论最常用的计数原则之一。把 \(P\) 作用于自身的正规子群、陪集、共轭类或某类子群，便可强迫不动点和正规对象存在。

非平凡中心

推论包括：

• 有限 \(p\)-群的极小正规子群都包含在中心中，并且阶为 \(p\)；
• 非阿贝尔有限 \(p\)-群的中心仍至少含 \(p\) 个元素；
• 内自同构群 \(\operatorname{Inn}(P)\cong P/Z(P)\) 的阶严格小于 \(|P|\)，便于归纳。

正规化子条件

该条件说明真子群总能沿正规化子严格增大；反复取正规化子最终到达 \(P\)。它也是有限幂零群的重要刻画之一。

每个 p-幂阶都有子群

更精确地，可以构造正规列

极大子群与 Frattini 子群

有限 \(p\)-群的每个极大子群 \(M\) 都有指数 \(p\)，并且正规。因为作用于 \(P/M\) 的陪集表示给出到 \(S_p\) 的同态，而像是传递 \(p\)-子群，只能是阶为 \(p\) 的正规循环群。

所有极大子群的交称为 Frattini 子群 \(\Phi(P)\)。它满足

并且 \(P/\Phi(P)\) 是初等阿贝尔 \(p\)-群。Burnside 基定理指出：一组元素生成 \(P\)，当且仅当它们在 \(P/\Phi(P)\) 中的像生成该向量空间。因此

给出 \(P\) 的最小生成元数。

幂零性

所以有限 \(p\)-群同时可解；但它不必阿贝尔，导出长度与幂零类可以很大。

典型例子

小阶分类

• 阶 \(p\) 的群只有 \(C_p\)。
• 阶 \(p^2\) 的群必阿贝尔，只有 \(C_{p^2}\) 与 \(C_p\times C_p\) 两类。
• 对奇素数 \(p\)，阶 \(p^3\) 有三类阿贝尔群和两类非阿贝尔群；非阿贝尔例子包括 \(UT_3(p)\)。
• 阶 \(8\) 有五个群：三个阿贝尔群，以及 \(D_8\) 与 \(Q_8\)。

随着 \(n\) 增大，阶为 \(p^n\) 的群数目增长极快，因此现代研究常按幂零类、余类、指数、秩或等斜性组织，而不追求逐阶列举。

在有限群论中的作用

• Sylow 定理把一般有限群的素数局部结构归结为 \(p\)-群。
• 最大正规 \(p\)-子群 \(O_p(G)\)、正规化子 \(N_G(P)\) 和中心化子 \(C_G(P)\)构成 \(p\)-局部分析的基本数据。
• 转移、正规 p-补与融合控制依赖 Sylow \(p\)-子群内部结构。
• 初等阿贝尔与超特殊 \(p\)-群把局部群论连接到有限域线性代数和辛几何。
• 有限单群分类大量使用 Sylow \(2\)-子群及其他局部子群的形状。

常见误解

相关词条

• Sylow p-子群
• 幂零群
• Frattini 子群
• 初等阿贝尔 p-群
• 超特殊 p-群
• 正规 p-补
• 局部子群

Wikipedia 的中英文 p-群条目用于交叉核对例子、分类与现代应用；核心结构定理及证明按 Isaacs 第一章重写。修订按 CC BY-SA 署名。^[2][3]