正规化子

正规化子 \(N_G(H)\) 是 \(G\) 中使子群 \(H\) 在共轭下保持不变的全部元素，因而是 \(H\) 在其中正规的最大子群。它把局部子群嵌入全群的方式转化为一个可计算稳定子。 ^{[1, thm. 1.6, 1.13, 1.18 and 1.22]}

定义

\(H^g=g^{-1}Hg\) 采用右共轭约定。元素 \(x\) 的循环子群正规化子 \(N_G(\langle x\rangle)\) 允许把 \(x\) 送到其幂，而中心化子只允许保持 \(x\) 本身。

核心结论

稳定子条件正是 \(H^g=H\)；轨道-稳定子定理立即给出指数。Frattini 论证 \(G=N_G(P)N\) 的证明见 Sylow 主干词条和原书定理 1.13。

结构性质

• \(H\triangleleft G\) 当且仅当 \(N_G(H)=G\)；\(H\) 自正规化当且仅当 \(N_G(H)=H\)。
• 若 \(P\) 是有限 \(p\)-群且 \(H<P\)，则 \(H<N_P(H)\)，称为正规化子增长。
• 有限群幂零当且仅当每个真子群严格小于其正规化子。
• 若 \(P\in\operatorname{Syl}_p(G)\)，则 \(N_G(P)\) 中每个 \(p\)-子群都包含于 \(P\)。
• Sylow 正规化子是融合与转移控制的自然候选；Yoshida 定理给出它控制转移的广泛条件。

正规化子位于子群与全群之间：它是能够在不破坏该子群的前提下使用全群共轭的最大环境。

例子与边界

知识网络

Sylow 主干词条使用正规化子计数与 Frattini 论证；幂零群词条把正规化子增长提升为等价刻画。

• 中心化子
• Sylow 定理
• 幂零群

证明与来源

共轭计数、Sylow 正规化子和正规化子增长分别见原书定理 1.6、1.18、1.22；证明链接到对应主干。 ^{[1, thm. 1.6, 1.13, 1.18 and 1.22]}