幂零群

幂零群是有限群论中介于阿贝尔群与可解群之间的一类群。它可以由中心列定义，也可以在有限情形下由 Sylow 子群、正规化子、极大子群或子群的次正规性来识别。有限 \(p\)-群自动幂零，因此幂零群是局部 \(p\)-结构与全局直积分解相接的基本对象。^{[1, pp. 13-27]}

定义

令 \(G\) 为群。定义上中心列

等价地，\(Z_{i+1}(G)\) 是满足 \([x,G]\subseteq Z_i(G)\) 的全部元素 \(x\) 构成的子群。

下中心列从另一方向逼近幺元：

群 \(G\) 的幂零类不超过 \(c\)，当且仅当 \(\gamma_{c+1}(G)=1\)。这一等价性来自交换子包含关系

在中心列与下中心列之间的相互传递。

有限群的等价刻画

有限 p-群

这个证明还导出两个常用结论：

• 若 \(1<N\triangleleft P\)，则 \(N\cap Z(P)>1\)；
• 若 \(N<M\) 都正规于 \(P\)，则存在 \(L\triangleleft P\) 使 \(N<L\leq M\) 且 \(|L:N|=p\)。

第二条反复使用后说明：阶为 \(p^a\) 的群具有每个阶 \(p^b\) 的正规子群，其中 \(0\leq b\leq a\)。这正是原书习题与定理 1.23--1.25 所形成的“逐层加一维”结构。^{[1, pp. 17-20]}

Sylow 直积分解

设

若 \(G\) 有限幂零，则每个 \(P_i\in\operatorname{Syl}_{p_i}(G)\) 唯一且正规，并且

因此有限幂零群的问题常可逐素数处理。例如元素 \(x=x_1\cdots x_r\) 的阶等于各 \(x_i\) 阶的乘积；子群 \(H\leq G\) 也分解为 \(H=\prod_i(H\cap P_i)\)。特别地，有限幂零群的每个子群和商群仍幂零。

例子与反例

子群、商群与扩张

幂零性对取子群、商群与有限直积封闭，但对任意扩张不封闭。例如

的核与商都幂零，而 \(S_3\) 不幂零。即使一个群是两个幂零子群的乘积，也不能在没有正规性条件时断言它幂零。

这一结果是“扩张不保幂零”的精确修正：同时具有正规性时，乘积确实保留幂零结构。证明按 Sylow 分量分解两个正规幂零子群，并利用互素分量的交换性。详见 Fitting 子群。

与可解性和 Frattini 子群的关系

每个幂零群可解，因为下中心列给出中心扩张链，而中心因子阿贝尔。对有限 \(p\)-群 \(P\)，Frattini 子群满足

商 \(P/\Phi(P)\) 是初等阿贝尔群，其维数等于 \(P\) 的最小生成元数。这把幂零群的逐层中心结构与线性代数连接起来。

应用

• 在 Sylow 理论中，将有限幂零群分解为各素数分量；
• 在 Fitting 理论中，以 \(F(G)\) 集中所有正规幂零结构；
• 在 Frobenius 理论中，Thompson 定理断言 Frobenius 核幂零；
• 在局部分析中，正规化子条件保证真子群总能在 \(p\)-局部结构内增长；
• 在交换子演算中，幂零类控制长交换子的消失长度。

相关词条

• 有限 p-群
• 上中心列
• 下中心列
• Fitting 子群
• Frattini 子群
• 可解群

本词条的有限群判据、正规化子条件及 Sylow 分解以 Isaacs 第 1 章为主线重新组织；一般定义与术语另与公开百科版本交叉核验。^{[1, pp. 13-27] [2]}