轨道-稳定子定理

轨道-稳定子定理把群作用的几何移动与子群指数精确联系起来。它是共轭类大小、Sylow 计数、Burnside 轨道计数和置换表示的共同计数基础。 ^{[1, thm. 1.4-1.6 and Appendix]}

定义

本文采用右作用记号 \(\alpha^g\)；若采用左作用 \(g\alpha\)，陪集左右方向相应交换，但指数公式不变。

核心结论

良定义性来自 \(\alpha^g=\alpha^h\) 当且仅当 \(gh^{-1}\in G_\alpha\)，这也同时证明单射；轨道定义给出满射。原书定理 1.4 将此双射强化为置换同构。

结构性质

• 轨道划分 \(\Omega\)，所以有限集合大小是各轨道大小之和。
• 作用传递当且仅当只有一个轨道，此时 \(|\Omega|=|G:G_\alpha|\)。
• 作用正则当且仅当传递且 \(G_\alpha=1\)，于是 \(|G|=|\Omega|\)。
• 共轭作用下 \(G_x=C_G(x)\)，故共轭类大小为 \(|G:C_G(x)|\)。
• 对子群的共轭作用中稳定子为 \(N_G(H)\)，所以共轭子群数为 \(|G:N_G(H)|\)。

定理把稳定子大小转化为轨道大小，也允许从小轨道推断大稳定子。大量有限群证明正是在两种方向之间切换。

例子与边界

知识网络

群作用主干词条给出核、固定点和多个作用范例；类方程与置换群词条分别应用于共轭作用和传递作用。

• 群作用
• 类方程
• 置换群

证明与来源

陪集双射及其共轭作用推论见原书定理 1.4-1.6；这里保留核心证明，后续应用在链接词条展开。 ^{[1, thm. 1.4-1.6 and Appendix]}