Sylow p-子群

Sylow \(p\)-子群是有限群中包含全部可用 \(p\)-幂阶的局部子群，是按素数分析群结构的标准入口。 ^{[1, thm. 1.7 and 1.11-1.18]}

定义

“最大 \(p\)-子群”按包含关系和“阶为最大 \(p\)-幂”在有限群中等价；不要把最大与极大阶的普通子群混淆。

核心结论

完整的 Wielandt 存在证明、嵌入与共轭证明、计数证明见 Sylow 定理主干词条和原书定理 1.7、1.11-1.17。

结构性质

• \(P\in\operatorname{Syl}_p(G)\) 正规当且仅当 \(n_p(G)=1\)。
• \(n_p(G)=|G:N_G(P)|\)，所以 Sylow 计数就是正规化子指数。
• 若 \(N\triangleleft G\)，则 \(P\cap N\in\operatorname{Syl}_p(N)\)，且 \(PN/N\) 是 \(G/N\) 的 Sylow \(p\)-子群。
• \(O_p(G)\) 是所有 Sylow \(p\)-子群的交。
• 有限群幂零当且仅当每个 Sylow 子群正规，此时群为 Sylow 子群的直积。

Sylow 子群通常不唯一，但它们通过共轭形成一个单一全局轨道；正规化子、交和融合描述这些局部模型如何粘合。

例子与边界

知识网络

Sylow 主干词条给出全部证明和应用，\(p\)-核词条处理共同正规部分，正规化子词条解释计数。

• Sylow 定理
• p-核
• 正规化子

证明与来源

定义和四个 Sylow 结论对应原书定理 1.7、1.11-1.18；为避免重复，本辅助词条将证明指向主干。 ^{[1, thm. 1.7 and 1.11-1.18]}