Cauchy 定理

Cauchy 定理是 Lagrange 定理最早的部分逆：素数 \(p\) 只要整除有限群阶，就一定在群中表现为一个 \(p\) 阶元素。 ^{[1, thm. 1.9 and problem 1A.8]}

定义

条件写作 \(p\mid|G|\)，结论可等价写为存在子群 \(C_p\leq G\)。

核心结论

可由 Sylow 存在定理立即推出。独立的 McKay 计数证明让 \(C_p\) 循环移动满足 \(x_1\cdots x_p=1\) 的 \(p\)-元组；非恒定轨道大小为 \(p\)，固定元组数与总数模 \(p\) 同余，从而得到非幺 \(x\) 满足 \(x^p=1\)。见习题 1A.8。

结构性质

• 反复应用于商群和中心可构造 \(p\)-群的正规列。
• 定理与 Lagrange 合起来说明有限群的素数阶元素恰对应群阶的素因数。
• 若 \(p^a\mid|G|\)，Cauchy 只给阶 \(p\) 元素；阶 \(p^a\) 子群的存在需要 Sylow 定理。
• 在阿贝尔群中可用乘方同态和归纳证明；非阿贝尔情形需要更一般的计数或作用。
• 定理不保证阶 \(p^2\) 元素：\(C_p\times C_p\) 的阶为 \(p^2\)，但所有非幺元素阶都为 \(p\)。

原书同时展示由 Sylow 推出和从习题提炼的独立作用证明，说明存在性定理可以有不同层级的工具来源，也便于在尚未建立完整 Sylow 理论时独立使用。

例子与边界

知识网络

Sylow 定理给出更强的素数幂子群存在性；类方程和 \(p\)-群词条展示 Cauchy 元素如何进入中心与正规列。

• Sylow 定理
• 有限 p-群
• 类方程

证明与来源

原书定理 1.9 由 Sylow 存在性推出；习题 1A.8 给出可独立成文的循环作用计数证明。 ^{[1, thm. 1.9 and problem 1A.8]}