群作用

群作用（group action）把群元素解释为某个集合上的可逆变换，是连接抽象群与置换、几何对称、线性表示和计数问题的统一语言。在有限群论中，陪集作用给出正规子群与置换表示，群作用的轨道计数则直接通向共轭类、Sylow 定理、Burnside 轨道计数公式和局部结构理论。^{[1, pp. 1-8]}

定义

固定 \(g\in G\) 后，映射 \(x\mapsto g\cdot x\) 的逆为 \(x\mapsto g^{-1}\cdot x\)，所以它是 \(X\) 的置换。于是给出群作用等价于给出群同态

这称为作用的置换表示。

右作用写作 \(x\cdot g\)，满足 \(x\cdot1=x\) 与 \((x\cdot g)\cdot h=x\cdot(gh)\)。右作用可通过 \(g\ast x=x\cdot g^{-1}\) 转换为左作用。Isaacs 主要使用右作用，本词条在陈述一般理论时采用左作用，并在陪集例子中明确方向。

核、忠实性与不变子集

若 \(\ker\rho=1\)，称作用忠实。此时 \(G\) 同构于 \(\operatorname{Sym}(X)\) 的一个子群。子集 \(Y\subseteq X\) 若满足 \(gY=Y\) 对所有 \(g\in G\) 成立，则称为 \(G\)-不变子集；它必是若干轨道的并。

轨道与稳定子

不同轨道要么相等，要么不交，因此轨道把 \(X\) 分割成不交并。作用传递，当且仅当 \(X\) 只有一条轨道。

若 \(y=g\cdot x\)，则

所以同一轨道上的稳定子彼此共轭。

四类基本作用

类方程

对有限群的共轭作用，轨道分割给出类方程

其中 \(x_i\) 从每个非中心共轭类中取一个代表。

这条结论支撑有限 \(p\)-群的归纳法、中心列和 Sylow 理论中的许多构造。

不动点计数与 p-群作用

若有限 \(p\)-群 \(P\) 作用于有限集合 \(X\)，每条轨道大小是 \(p\) 的幂。把单点轨道组成的不动点集记为 \(X^P\)，则

特别地，若 \(p\nmid|X|\)，则作用必有不动点。Sylow 包含定理可由此证明：让一个 \(p\)-子群作用于 Sylow 子群的陪集集合，陪集数不被 \(p\) 整除，因而存在固定陪集。

Burnside 轨道计数公式

设有限群 \(G\) 作用于有限集合 \(X\)，记

该公式常用于计算旋转或反射意义下不同的染色、项链、图形与分子构型数量。

作用的常见性质

• 自由：除单位元外没有元素固定任何点；等价于所有稳定子平凡。
• 传递：任意两点位于同一轨道。
• 正则：自由且传递；等价于给定两点，恰有一个群元素把前者送到后者。
• n-传递：对有序的互异 \(n\)-元组传递。
• 本原：传递且不存在非平凡区组系统。它是研究有限置换群和简单群的重要条件。

这些性质之间不能随意互换。例如传递作用可以有非平凡稳定子，忠实作用也不必自由。

例：正三角形

正三角形的对称群 \(D_6\cong S_3\) 作用于三个顶点。作用忠实且传递；一个顶点的稳定子含单位元和经过该顶点的反射，阶为 \(2\)。因此轨道—稳定子定理给出

旋转子群 \(C_3\) 的作用则是正则作用。

应用与关系

• 陪集作用把小指数子群转化为到 \(S_n\) 的同态，并可强迫正规子群存在。
• 共轭作用产生类方程、中心化子、正规化子和融合问题。
• 线性作用是群表示论的起点；\(G\) 作用于向量空间等价于同态 \(G\to GL(V)\)。
• 作用于图、几何、拓扑空间和代数对象可把对称性编码成群同态。
• Sylow 定理、Frobenius 群和 置换群理论都以群作用为基本语言。

相关词条

• 轨道
• 稳定子
• 轨道—稳定子定理
• 置换表示
• Burnside 引理
• 类方程
• 子群的核芯
• 传递作用
• 本原置换群

Wikipedia 的中英文“群作用”条目用于交叉核对术语、例子和应用范围；正文的有限群论证明路线按 Isaacs 重新组织。对应修订按 CC BY-SA 署名。^[2][3]