置换群

置换群是对集合中元素进行双射变换的群，也就是对称群的子群。把抽象群写成置换群等价于选取一个忠实群作用；不同作用会暴露不同的子群、正规结构和局部几何。传递性、正则性、本原性、多重传递、子轨道与轨道图构成有限置换群的基本层级。^{[1, pp. 223-270]}

定义与置换表示

群 \(G\) 在 \(\Omega\) 上的作用给出同态

作用忠实当且仅当 \(\ker\rho=1\)，此时 \(G\cong\rho(G)\) 是置换群。作用的核是所有点稳定子的交：

Cayley 表示通常不是最低次数表示。寻找最小的忠实置换次数等价于寻找若干子群，其 core 的交为 \(1\)，并最小化相应指数之和。

传递作用与陪集作用

因此，有限传递置换群的研究可在“点稳定子 \(H\) 在 \(G\) 中的位置”与“作用几何”之间往返。

多重传递

\(S_n\) 是 \(n\)-传递的；\(A_n\) 在 \(n\geq4\) 时是 \((n-2)\)-传递的。\(AGL(1,q)\) 二重传递；\(V\rtimes GL(V)\) 在 \(V\) 上通常二重传递，而当 \(V\cong\mathbf F_2^n\) 时可出现三重传递。

区组与本原性

传递作用若只有平凡区组，称为本原作用；否则称为非本原作用。一个非平凡区组的全部平移构成 \(\Omega\) 的等大分划，称为区组系。

第一条因为区组大小必须整除 \(|\Omega|\)；第二条因为若 \(\alpha,\beta\) 在同一非平凡区组中，点稳定子对其余点的传递性会迫使所有点都在该区组中。

正规子群的轨道

这给出本原群的关键结构：极小正规子群必须传递；若它还阿贝尔，则必初等阿贝尔且正则，从而群嵌入仿射群 \(V\rtimes GL(V)\)。

正则正规子群

若 \(N\triangleleft G\) 在 \(\Omega\) 上正则，固定 \(\alpha\) 并令 \(H=G_\alpha\)，则

\(H\) 在 \(N\setminus\{1\}\) 上的共轭作用与它在 \(\Omega\setminus\{\alpha\}\) 上的作用置换同构。因此：

• \(G\) 二重传递，当且仅当 \(H\) 在 \(N\setminus\{1\}\) 上传递；
• \(G\) 是 Frobenius 群，当且仅当 \(H\) 在 \(N\setminus\{1\}\) 上半正则；
• 若 \(H\) 在非幺元素上 \(k\)-传递，则 \(G\) 在 \(\Omega\) 上 \((k+1)\)-传递。

子轨道与子度

固定 \(\alpha\in\Omega\)。点稳定子 \(G_\alpha\) 在 \(\Omega\) 上的轨道称为子轨道，其大小称为子度。包含 \(\alpha\) 的平凡子轨道大小为 \(1\)。子轨道个数称为作用的秩。

于是轨道关系、子轨道和子度是同一信息的三个视角。配对轨道关系 \(\Delta^*=\{(\beta,\alpha):(\alpha,\beta)\in\Delta\}\) 对应反向有向边，两个配对子度相等。

轨道图与本原性

从非对角轨道关系 \(\Delta\) 构造有向图：顶点为 \(\Omega\)，弧为 \(\Delta\)。\(G\) 作为图自同构群传递地作用于顶点。

轨道图把置换群结构转化为图论。子度就是相应有向图的出度；本原性变为所有非平凡轨道图的连通性。

Jordan 型定理

类似地，含有三循环的本原群必为 \(A_n\) 或 \(S_n\)；更一般的 Jordan 定理用短素数循环迫使高度多重传递。原书第 8C 节由此证明 \(A_n\) 在 \(n\geq5\) 时单，并进一步证明绝大多数 \(PSL(n,q)\) 单。^{[1, pp. 247-258]}

例子层级

相关词条

• 本原作用
• 区组系
• 多重传递
• 子轨道
• 轨道图
• 交错群
• 射影特殊线性群

本文以 Isaacs 第 8 章的陪集模型、本原性、Jordan 定理和轨道图为主线，补全定义、证明和仿射型例子；术语及一般背景与标准置换群教材和中英文公开百科修订交叉核验。^{[1, pp. 223-270] [2, pp. 1-96] [3] [4]}