交错群 - Math.SX

交错群 $$A_n$$ 是对称群 $$S_n$$ 中全部偶置换组成的指数 $$2$$ 正规子群。它由三循环生成，在 $n\geq5$ 时是非阿贝尔单群，因而给出第一族无限的有限非阿贝尔单群。 $$A_5$$ 是阶最小的非阿贝尔单群，并与正二十面体的旋转群同构。^{[1, pp. 247-258]}

定义

置换可写为换位的乘积，而且换位个数的奇偶性与分解选择无关。符号同态为

\operatorname{sgn}:S_n\longrightarrow\{\pm1\}\cong C_2.

当 $n\geq2$ 时符号同态满射，所以

|A_n|=\frac{n!}{2}, \qquad A_n\triangleleft S_n, \qquad S_n/A_n\cong C_2.

三循环生成

这一生成性质使“正规子群只要含一个三循环就等于 $$A_n$$ ”成为证明单性的核心。

自然作用

$$A_n$$ 自然作用于 $\{1,\dots,n\}$ 。当 $n\geq4$ 时它是 $$(n-2)$$ -传递的：给定两个有序的互异 $$(n-2)$$ -元组，先取 $$S_n$$ 中把一个送到另一个的置换；若该置换为奇，可交换剩下两个未指定字母来修正奇偶性，而不改变目标元组。

因此 $$A_n$$ 在 $n\geq4$ 时二重传递并本原。点稳定子同构于 $A_{n-1}$ ，这为单性提供自然归纳结构。

A5 的共轭类

$$A_5$$ 中非幺元素有三种循环型：三循环、两个不交换换位的乘积，以及五循环。相应共轭类大小为

循环型	元素阶	在 $$A_5$$ 中的类大小
$$(abc)$$	3	20
$$(ab)(cd)$$	2	15
$$(abcde)$$	5	12 与 12

五循环在 $$S_5$$ 中的一个大小为 $$24$$ 的类分裂成 $$A_5$$ 中两个大小为 $$12$$ 的类。

A5 的单性

还可用 Sylow 计数证明：一个假想正规子群与五阶、三阶 Sylow 子群的交会迫使它包含相应完整共轭类，最终阶数超过允许范围。共轭类证明更直接地展示了正规性为何失败。

一般单性定理

以 A5 为基例的归纳

基例 $$n=5$$ 已证。设 $n\geq6$ ，并假设 $A_{n-1}$ 单。令 $N\triangleleft A_n$ ，取点稳定子

H=(A_n)_n\cong A_{n-1}.

则 $N\cap H\triangleleft H$ ，所以由归纳假设， $N\cap H$ 只能是 $$1$$ 或 $$H$$ 。

若 $N\cap H=H$ ，则 $H\leq N$ 。正规性使 $$N$$ 包含所有点稳定子的共轭，而这些稳定子包含并生成全部三循环，故 $$N=A_n$$ 。

若 $N\cap H=1$ ，则

[N,H]\leq N\cap H=1,

所以 $N\leq C_{A_n}(H)$ 。但 $H\cong A_{n-1}$ 在前 $$n-1$$ 个点上二重传递；任何与 $$H$$ 交换的置换必须固定点 $$n$$ ，并在前 $$n-1$$ 个点上同时与所有三循环交换，只能是幺元。因此 $C_{A_n}(H)=1$ ，得 $$N=1$$ 。

故 $$A_n$$ 只有 $$1$$ 与自身两个正规子群。

共轭类分裂

$$S_n$$ 中一个偶置换的共轭类在 $$A_n$$ 中分裂，当且仅当其循环分解的非平凡循环长度都是互不相同的奇数。原因是 $$S_n$$ -类分裂等价于中心化子完全包含在 $$A_n$$ ；重复循环长度允许交换两个同长循环产生奇中心化元，偶数循环也产生奇中心化元。

完满性与自同构

当 $n\geq5$ 时， $$A_n$$ 非阿贝尔单，所以导出子群 $$A_n'$$ 是非平凡正规子群，必有

\[ A_n'=A_n. \]

因此 $$A_n$$ 完满。对 $n\neq6$ 且 $n\geq5$ ，每个 $$A_n$$ 自同构由 $$S_n$$ 中共轭诱导，故

\operatorname{Aut}(A_n)\cong S_n.

$$A_6$$ 有异常外自同构， $\operatorname{Out}(A_6)$ 比通常的二阶外自同构群更大。这是对称/交错群理论中的著名例外。

几何与其他表示

$$A_5$$ 同构于正二十面体或正十二面体的保向旋转群，也同构于 $$PSL(2,4)$$ 和 $$PSL(2,5)$$ 。这些同构把置换群、有限域线性群和三维几何连接起来。

一般 $$A_n$$ 是有限单群分类中的交错群族；其余无限族来自有限 Lie 型群，另加 26 个散在单群。

参考文献

4 条结构化来源

[1]
I. Martin Isaacs. (2008). Finite Group Theory. Graduate Studies in Mathematics 92. pp. 247-258. American Mathematical Society链接
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John D. Dixon, Brian Mortimer. (1996). Permutation Groups. pp. 5-8. SpringerDOI: 10.1007/978-1-4612-0731-3
[3]
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[4]
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