区组系

区组是置换作用不能部分打散的点集。非平凡区组的全部平移构成系统性分划，揭示作用的非本原层次。 ^{[1, thm. 8.11-8.15]}

定义

单点与全体是平凡区组；其他区组称非平凡。

核心结论

中间子群轨道的平移若相交便相等；反之区组的集合稳定子在区组上传递。平移分割 \(\Omega\)，故大小整除。

结构性质

• 非平凡区组存在当且仅当作用非本原。
• 正规子群的轨道总是区组。
• 区组上的诱导作用给出较低次数商置换表示。
• 区组内部与区组之间的作用常嵌入 wreath 积。
• 素数次数传递作用没有非平凡区组。

区组把一个大置换问题分成区组间作用和单个区组内作用，是递归分析的基本接口。群在区组集合上的作用核是所有区组集合稳定子的交；核负责区组内部运动，商群负责区组之间的置换。对传递作用，含基点的区组与点稳定子和全群之间的中间子群一一对应，所以寻找非平凡区组等价于寻找真中间子群。

例子与边界

知识网络

本原作用排除非平凡区组，置换群主干给出子群对应，wreath 积是区组结构的标准容器。

• 本原作用
• 置换群
• Wreath 积

证明与来源

区组分划、中间子群对应和正规轨道定理见原书定理 8.11-8.15。 ^{[1, thm. 8.11-8.15]}