轨道图

轨道图把置换群的二元轨道关系视为有向边，将本原性和子度问题转化为图的连通性与度数。 ^{[1, thm. 8.34-8.43]}

定义

配对轨道 \(\Delta^*\) 反转所有弧；若 \(\Delta=\Delta^*\)，可视为无向图。

核心结论

不连通分支在顶点传递自同构群下形成区组；反之取同一区组内点对，其轨道的所有弧都留在区组内，图不连通。

结构性质

• \(G\) 是轨道图的顶点传递自同构群。
• 出度等于对应子度。
• 轨道图连通分支给出最小包含该子轨道的区组。
• 配对轨道图的入度与出度相等。
• 子度公因数图限制传递作用可能出现的局部度数集合。

轨道图允许用图论的路径、连通分支和局部度来研究群作用。秩三置换群的两个非对角轨道图常形成强正则图；反过来，高度对称图的自同构群也常通过轨道图恢复其置换结构。若有向轨道在交换坐标后不变，所得图可视为无向图；否则它与其配对轨道图方向相反。图的连通分支给出区组系，因此本原作用的非平凡无向轨道图必连通。固定起点后的出邻点正是一个子轨道，所以出度等于对应子度；配对子轨道则控制入度。这使局部图参数能够直接翻译为双点稳定子指数。

例子与边界

知识网络

子轨道给出邻域，本原作用由连通性刻画，置换群主干建立轨道关系。

• 子轨道
• 本原作用
• 置换群

证明与来源

轨道关系、连通性判据和子度图结果见原书定理 8.34-8.43。 ^{[1, thm. 8.34-8.43]}