多重传递

\(k\)-传递要求同时把 \(k\) 个互异点的有序配置送到任意另一配置，是比普通传递显著更强的对称性。 ^{[1, sec. 8A-8C]}

定义

\(k\)-传递蕴含 \((k-1)\)-传递；\(k\)-齐次通常更弱。

核心结论

先对齐首坐标，再在其稳定子中对齐剩余坐标；反向将这两步组合。该递归也给出稳定子链的阶公式。

结构性质

• \(2\)-传递作用必本原。
• \(S_n\) 为 \(n\)-传递，\(A_n\) 对 \(n\geq4\) 为 \((n-2)\)-传递。
• \(AGL(1,q)\) 在有限域上二重传递。
• 具有正则正规子群时，点稳定子在非幺核上的 \(k\)-传递对应全群的 \((k+1)\)-传递。
• 高度多重传递有限群受到极强分类限制。

多重传递把局部点稳定子作用递归嵌入全局作用，是 Jordan 定理和有限单群例子的来源。若作用有限且 \(k\)-传递，则群阶被下降乘积 \(n(n-1)\cdots(n-k+1)\) 整除，来自逐点稳定子链的连续指数。固定一个点后，原来的 \(k\)-传递性降为剩余点集上的 \((k-1)\)-传递性，因此许多证明都可沿稳定子链归纳。高重传递极其刚性，不能与仅有相同轨道数的弱条件混淆。

例子与边界

知识网络

本原作用是二重传递的后果，对称与交错群提供极端例子。

• 本原作用
• 对称群
• 交错群

证明与来源

稳定子递归、正则核提升和 Jordan 应用见原书第 8A-8C 节。 ^{[1, sec. 8A-8C]}