子轨道与子度

固定一个点后，点稳定子在全体点上的轨道称为子轨道。它们记录传递作用在一阶稳定后剩余的局部几何。 ^{[1, sec. 8D]}

定义

平凡子轨道 \(\{\alpha\}\) 的子度为 \(1\)。子度多重集合与点选择无关。

核心结论

若 \((\alpha,\beta)\) 与 \((\alpha,\gamma)\) 在同一轨道关系，搬运元素必须稳定 \(\alpha\)，所以 \(\beta,\gamma\) 在同一 \(G_\alpha\)-轨道；反向显然。

结构性质

• 秩 \(2\) 等价于二重传递。
• 配对轨道关系对应反向子轨道，并有相同子度。
• 子度是相应轨道有向图的出度。
• 本原群的非平凡子度满足多种整除和增长限制。
• 最大子度与局部稳定子指数直接相关。

子轨道把全局二元轨道压缩为一个点稳定子问题，是置换群与图论之间的接口。对子轨道中一点 \(\beta\)，其大小还等于双点稳定子指数 \(|G_\alpha:G_{\alpha,\beta}|\)，这把局部轨道直接转成稳定子计算。

例子与边界

知识网络

轨道图把子轨道变成边，本原作用给出连通性，置换群主干说明轨道关系。

• 轨道图
• 本原作用
• 置换群

证明与来源

轨道关系、子轨道对应及子度限制见原书第 8D 节。 ^{[1, sec. 8D]}