本原作用

本原作用是无法通过非平凡区组系进一步分解的传递作用，是置换群的“不可约”层次。 ^{[1, sec. 8B-8C]}

定义

本原性是某个具体作用的性质，不是抽象群的绝对性质；同一群可有本原与非本原作用。

核心结论

区组与点稳定子以上中间子群一一对应，给出极大性。轨道图不连通分支形成区组；非平凡区组反向产生不连通轨道图。

结构性质

• 每个非平凡正规子群在本原作用中传递。
• 二重传递蕴含本原。
• 素数次数传递蕴含本原。
• 阿贝尔极小正规子群在本原群中正则。
• 本原群含换位则为全对称群，含三循环则为对称或交错群。

本原群是 O'Nan–Scott 结构理论的基本对象，按其基座与点稳定子作用分为仿射、几乎单、对角、积作用和扭 wreath 等类型。即使不使用完整分类，基座传递性已足以大幅限制正规结构。具体地，每个非平凡正规子群都传递；若存在阿贝尔极小正规子群，它必为初等阿贝尔且正则，于是作用进入仿射模型。这个二分把本原作用同有限单群和线性群连接起来。等价的子群判据是点稳定子在 \(G\) 中极大；因此本原性可直接从子群格检验，而不必枚举所有区组。忠实性还要求该稳定子的 core 平凡。两项条件必须分别核验。

例子与边界

知识网络

区组系给出否定条件，轨道图给出图论判据，多重传递提供常见充分条件。

• 区组系
• 轨道图
• 多重传递

证明与来源

极大稳定子、正规轨道和 Jordan 型结果见原书第 8B-8C 节。 ^{[1, sec. 8B-8C]}