类方程

类方程把有限群分割为中心元素的单点共轭类和非中心共轭类，是从共轭作用提取算术信息的标准公式。 ^{[1, thm. 1.5 and 1.19]}

定义

共轭类写作 \(x^G\) 或 \(\operatorname{Cl}_G(x)\)。中心 \(Z(G)\) 正是共轭类大小为 \(1\) 的元素集合。

核心结论

让 \(G\) 以共轭作用于自身；轨道是共轭类，稳定子是中心化子。轨道-稳定子定理给出各类大小，再对轨道分划求和。

结构性质

• 若 \(P\) 是非平凡有限 \(p\)-群，每个非中心类大小被 \(p\) 整除，所以 \(|Z(P)|\) 被 \(p\) 整除且至少为 \(p\)。
• 若 \(G/Z(G)\) 循环，则 \(G\) 阿贝尔；这常与类方程一起排除小阶非阿贝尔结构。
• 类方程可对正规子群或 \(p\)-群作用推广为固定点同余 \(|\Omega|\equiv|\Omega^P|\pmod p\)。
• 在 \(S_n\) 中，共轭类由循环型决定，中心化子阶可由同长循环的置换与各循环旋转计算。
• 共轭类大小整除群阶，但同一群中类大小的集合受到中心和正规结构的额外限制。

原书以类方程证明 \(p\)-群中心非平凡，并由此建立正规化子增长、各阶正规子群和幂零性；这条推理链是有限群论中由计数进入结构的典型范例，也会在后续局部分析中反复出现。

例子与边界

知识网络

群作用解释公式来源，有限 p-群词条给出中心定理的完整归纳后果，共轭类词条处理类分裂与具体计算。

• 群作用
• 有限 p-群
• 共轭类

证明与来源

公式来自原书定理 1.5；\(p\)-群中心应用见定理 1.19。其余证明细节由轨道-稳定子定理直接给出。 ^{[1, thm. 1.5 and 1.19]}