传递作用

传递作用表示群能把任一点移动到任意另一点。它把作用完全编码为一个点稳定子及其陪集空间。 ^{[1, sec. 8A]}

定义

固定 \(\alpha\) 后，点稳定子为 \(G_\alpha\)，次数为 \(|\Omega|=|G:G_\alpha|\)。

核心结论

映射 \(\alpha^g\mapsto G_\alpha g\) 的良定义与双射由轨道-稳定子证明；核是全部稳定子共轭的交。

结构性质

• 不同点稳定子共轭。
• 作用忠实当且仅当点稳定子 core-free。
• 正规子群的轨道构成区组系。
• 正则作用是稳定子平凡的传递作用。
• 本原作用是点稳定子极大的传递作用。

传递性把全局置换几何压缩为子群 \(H\leq G\) 的嵌入问题。若原作用不传递，则每个轨道本身都是传递子作用，整个作用可先按轨道分解；因此传递情形是一般作用的不可再按轨道拆分单元。选定基点后，等变映射也可由稳定子包含关系刻画，这使商作用、区组系和诱导表示能够统一写成子群格问题。

例子与边界

知识网络

置换群主干词条给出完整层级，正则和本原作用分别加强稳定子与区组条件。

• 置换群
• 正则作用
• 本原作用

证明与来源

陪集模型、稳定子与正则判据见原书第 8A 节及定理 8.1、8.5。 ^{[1, sec. 8A]}