次正规子群

次正规子群把“在全群中正规”放宽为“经过有限层正规扩张后到达全群”。它既保留足够强的传递与闭包性质，又能描述幂零群、Fitting 子群、分量和极小正规子群等结构。Wielandt 关于有限个次正规子群的生成子群仍次正规的定理，是这一理论的核心。^{[1, pp. 45-64]}

定义

常用记号为 \(H\triangleleft\triangleleft G\)。链中每一步只要求 \(H_i\) 在下一项 \(H_{i+1}\) 中正规，不要求它在 \(G\) 中正规。

初等性质

次正规关系具有传递性：若 \(H\triangleleft\triangleleft K\) 且 \(K\triangleleft\triangleleft G\)，拼接两条链即得 \(H\triangleleft\triangleleft G\)。它也稳定于同态像和逆像。

Wielandt 生成定理

这是次正规性最重要、也最不显然的闭包性质。两个正规子群的乘积显然正规，但两个次正规子群未必相互正规，不能简单拼接链。

与幂零群的等价关系

次正规 pi-子群与 p-核

这是原书习题 2A.1 的重要提炼。它把看似较弱的次正规条件转化为全局最大正规局部核中的包含关系。

与 Fitting 子群的关系

正规闭包与极小正规子群

若 \(S\triangleleft\triangleleft G\) 是非阿贝尔单群，则其不同共轭要么相等，要么逐元素交换。因此

是若干个互相交换的单群的直积，并构成 \(G\) 的极小正规子群。这一习题结论是后来“分量”和“层”理论的雏形。

可置换子群与拉链引理

若 \(S\) 与每个共轭 \(S^x\) 可置换，即

则有限群中 \(S\) 次正规。证明并不能直接从乘积写出次正规链；它使用 Wielandt 拉链引理：若 \(S\) 在每个包含它的真子群中次正规而不在 \(G\) 中次正规，则恰有一个包含 \(S\) 的极大子群。共轭可置换性随后迫使这个唯一性与群作用矛盾。

相关词条

• Wielandt 拉链引理
• 正规闭包
• 幂零群
• Fitting 子群
• 群的分量
• 群的基座

本文把 Isaacs 第 2 章的交定理、Wielandt 生成定理、Fitting 判据及习题 2A.1、2A.7--2A.8 的结构结论整合为百科叙述；历史归属与术语另与 Wielandt 原文和公开百科修订交叉核验。^{[1, pp. 45-64] [2] [3]}