群的基座

群的基座 \(Soc(G)\) 是全部极小正规子群的乘积。它收集无法再分解的正规底层，在可解群中是初等阿贝尔层，在一般群中还包含非阿贝尔简单直积。 ^{[1, sec. 2A and ch. 9A]}

定义

极小正规性是相对于环境群 \(G\)，不等价于 \(N\) 作为抽象群单。非阿贝尔极小正规子群通常是若干同构简单群的直积。

核心结论

交 \(M\cap N\) 同时是 \(G\)-正规子群，极小性迫使其为 \(1\) 或两者。交为 \(1\) 时 \([M,N]\leq M\cap N=1\)。非阿贝尔极小正规子群的简单直积分解见原书第 9A 节。

结构性质

• \(Soc(G)\operatorname{char}G\)，因为自同构置换极小正规子群。
• 有限可解群的极小正规子群是初等阿贝尔 \(p\)-群，所以 \(Soc(G)\leq F(G)\)。
• 任意有限群都有 \(Soc(G)\leq F^*(G)\)。
• 本原置换群的每个非平凡正规子群传递，故其基座传递；阿贝尔基座必正则且初等阿贝尔。
• 几乎单群的基座是其唯一非阿贝尔单正规子群。

基座不是把所有简单子群相乘，而只收集作为全群极小正规层出现的那些对象，因此与分量、Fitting 子群相邻但不相同。

例子与边界

知识网络

广义 Fitting 子群包含基座，正规闭包构造极小正规层，本原作用说明基座如何决定置换群类型。

• 广义 Fitting 子群
• 正规闭包
• 本原作用

证明与来源

极小正规子群的直积结构见原书第 2A 节；阿贝尔/半单二分和与分量的关系见第 9A 节。 ^{[1, sec. 2A and ch. 9A]}