正规闭包

正规闭包把局部对象扩张为全群可见的正规结构。它由全部共轭生成，是“在不丢失给定子集的前提下强制正规”的最小构造。 ^{[1, ch. 2A and thm. 9.28-9.30]}

定义

上标 \(G\) 在这里表示由全部 \(G\)-共轭生成，不是普通的单个共轭类。若只写 \(H^g\)，表示一个共轭子群。

核心结论

全部共轭生成的子群显然在共轭下不变并包含 \(X\)；任何含 \(X\) 的正规子群必须含每个 \(x^g\)，故也含该生成子群。商群相容性由共轭与同态交换直接得到。

结构性质

• 若 \(H\triangleleft G\)，则 \(H^G=H\)；反之等式说明 \(H\) 正规。
• 若 \(H\triangleleft\triangleleft G\)，正规闭包可借次正规链逐层构造，但未必保留 \(H\) 的同构类型。
• 非阿贝尔单次正规子群 \(S\) 的不同共轭彼此交换，\(S^G\) 是同构简单群的直积并构成极小正规子群。
• 导出子群 \(G'\) 是全部交换子的正规闭包，也就是使商阿贝尔的最小正规子群。
• 强共轭闭包与普通正规闭包在有限群中的关系由 Bartels 定理刻画。

正规闭包既是格论中的闭包算子，也是从生成元关系、局部子群和简单分量进入正规结构的统一语言。

例子与边界

知识网络

次正规性控制闭包如何逐层增长，基座收集极小正规闭包，分量理论处理拟单次正规子群的闭包。

• 次正规子群
• 群的基座
• 群的分量

证明与来源

共轭生成与次正规简单子群的闭包见第 2A、9D 节；商群和强共轭性质见定理 9.28-9.30。 ^{[1, ch. 2A and thm. 9.28-9.30]}