Fitting 子群

Fitting 子群 \(F(G)\) 是有限群 \(G\) 中所有正规幂零子群的乘积，也就是唯一最大的正规幂零子群。它把分散在不同素数处的正规局部结构收集成一个特征子群；在有限可解群中，\(F(G)\) 还具有自中心化性质，是归纳分析的基本“底层”。^{[1, pp. 21-27]}

定义

由于正规幂零子群是其 Sylow 子群的直积，存在规范分解

只有满足 \(O_p(G)>1\) 的素数才贡献非平凡因子。

Fitting 乘积定理

基本性质

Fitting 子群满足以下函子性与不变性：

1. \(F(G)\operatorname{char}G\)，因为任意自同构都置换正规幂零子群；
2. 若 \(N\triangleleft G\)，则 \(F(N)\leq F(G)\)；
3. 同态像满足 \(F(G)N/N\leq F(G/N)\)，但等号不总成立；
4. 直积满足 \(F(G\times H)=F(G)\times F(H)\)；
5. \(F(G)=1\) 当且仅当 \(G\) 没有非平凡正规 \(p\)-子群。

最后一条来自 \(F(G)=\prod_pO_p(G)\)。它不意味着 \(G\) 没有幂零子群，只意味着这些子群都无法同时成为全群的正规结构。

可解群中的自中心化性质

这里的可解性不能去掉。若 \(G\) 是非阿贝尔单群，则 \(F(G)=1\)，而 \(C_G(F(G))=G\)。一般有限群要用广义 Fitting 子群

取代 \(F(G)\)；其中 \(E(G)\) 是所有分量的中心积，并满足 \(C_G(F^*(G))\leq F^*(G)\)。

与极小正规子群的关系

若 \(G\) 可解，任意极小正规子群 \(N\) 都是初等阿贝尔 \(p\)-群：导出子群 \(N'\) 是 \(G\)-正规子群，所以极小性迫使 \(N'=1\)；同样 \(N^p\) 只能为 \(1\) 或 \(N\)，有限性排除后者。故 \(N\leq O_p(G)\leq F(G)\)。

因此在非平凡有限可解群中总有 \(F(G)>1\)。这给出常用归纳入口：先在 \(F(G)\) 内找极小正规子群，再考察 \(G/N\)。

完整证明使用 Gaschütz 理论；在初等情形中可将 \(F(G)\) 的 Sylow 分量逐一视为 \(\mathbf F_pG\)-模，并用 Frattini 商消除非生成元。

例子

Fitting 高度

对有限可解群，递归定义

最小的 \(h\) 使 \(F_h(G)=G\) 称为 Fitting 高度。幂零群的高度为 \(1\)；\(S_3\) 的高度为 \(2\)。该不变量衡量可解群需要多少层幂零扩张才能构成。

应用

• 证明有限可解群含非平凡正规初等阿贝尔子群；
• 将 \(G/F(G)\) 嵌入到 Fitting 主因子的自同构群中；
• 定义 Fitting 高度并组织可解群的归纳；
• 与层 \(E(G)\) 合并形成广义 Fitting 子群，处理非可解群；
• 在置换群和局部群论中控制正规 \(p\)-结构。

相关词条

• 幂零群
• p-核
• Frattini 子群
• 广义 Fitting 子群
• 群的层
• Fitting 高度

本词条以 Isaacs 的 Fitting 乘积证明及后续次正规理论为主线独立重写，并与 Fitting 的历史文献及公开百科修订交叉核验。^{[1, pp. 21-27] [2] [3]}