正则作用

正则作用在任意两点之间有唯一群元素搬运。它把集合与群本身无歧义地识别，并产生标准半直积分解。 ^{[1, thm. 8.5-8.8]}

定义

有限情形 \(|G|=|\Omega|\)。群在自身上的左右乘作用是标准正则作用。

核心结论

传递给出 \(G=NH\)，正则给出 \(N\cap H=1\)。以 \(\alpha^n\) 识别 \(N\) 与 \(\Omega\)，直接检查 \(H\) 的两种作用相容。

结构性质

• 正则作用必忠实。
• 正则子群的每个非幺元素无固定点。
• 若 \(H\) 在非幺 \(N\) 上传递，则 \(N\rtimes H\) 二重传递。
• 若 \(H\) 在非幺 \(N\) 上半正则，则半直积为 Frobenius 群。
• 本原群的阿贝尔极小正规子群必正则。

正则正规子群将置换问题线性化或群内化：点可视为核元素，点稳定子可视为自同构群。

例子与边界

知识网络

传递作用提供陪集模型，Frobenius 群使用半正则补，仿射群是正则初等阿贝尔核的典型。

• 传递作用
• Frobenius 群
• 仿射群

证明与来源

正则正规子群分解和作用同构见原书定理 8.5-8.8。 ^{[1, thm. 8.5-8.8]}