Thompson–Wielandt 定理

Thompson–Wielandt 定理说明，本原置换群的点稳定子除一个正规 \(p\)-核外，其大小可由一个子度显式控制。 ^{[1, thm. 9.23-9.24]}

定义

core-free 与极大分别保证作用忠实和本原。

核心结论

分析 \(H\) 与 \(H^g\) 的交及其在两侧的 core。若交中没有子群在更大局部群中正规，递归 core 构造迫使某一侧剩余成为 \(p\)-群；置换嵌入给出阶乘界。

结构性质

• 结论不指定素数 \(p\)，它由局部交结构产生。
• 界很粗，但只依赖子度 \(m\) 而非全群次数。
• 点稳定子因而是“有界 p-核扩张”。
• 定理是有限本原群局部有限性的重要先驱。
• core-free 极大子群语言与忠实本原作用等价。

该结果把局部轨道大小转化为点稳定子结构界，是置换几何控制群阶的深例。它并不追求紧的数值常数，而是证明固定一个子度后，点稳定子除正规 \(p\)-核之外只有有限多种可能规模。这个“有界部分加单一素数方向”的结论，是从局部双点稳定子交推导全局本原群限制的典型路线。

例子与边界

知识网络

本原作用给出极大稳定子，子轨道解释参数 m，p-核是结论中的大正规部分。

• 本原作用
• 子轨道
• p-核

证明与来源

精确定理和更一般交-core 版本见原书定理 9.23-9.24。 ^{[1, thm. 9.23-9.24]}