p-核

\(p\)-核 \(O_p(G)\) 收集有限群中全部正规 \(p\)-结构，是 Fitting 子群的素数分量，也是判断单性与局部作用忠实性的基本对象。 ^{[1, sec. 1F and problem 2A.1]}

定义

对素数集合 \(\pi\)，类似定义 \(O_\pi(G)\) 为最大正规 \(\pi\)-子群；\(O_{p'}(G)\) 表示阶不被 \(p\) 整除的最大正规子群。

核心结论

正规 \(p\)-子群包含于每个 Sylow \(p\)-子群；反过来，全部 Sylow 子群之交在共轭下不变且是 \(p\)-群。次正规结论按次正规亏格逐层取正规闭包，见原书习题 2A.1。

结构性质

• \(O_p(G)\operatorname{char}G\)，因为自同构置换正规 \(p\)-子群。
• 若 \(N\triangleleft G\)，则 \(O_p(N)\leq O_p(G)\)；商群中通常只有 \(O_p(G)N/N\leq O_p(G/N)\)。
• \(F(G)=\prod_pO_p(G)\)，不同素数的正规核彼此中心化。
• 若 \(G\) 非阿贝尔单，则每个 \(O_p(G)=1\)；反向不成立，因为某些半单或几乎单群同样如此。
• 共轭作用的核常是 \(O_p(G)\) 的候选；证明作用忠实可通过排除非平凡正规 \(p\)-核完成。

\(O_p(G)\) 区别于任意 Sylow 子群：Sylow 子群最大于阶，而 \(p\)-核最大于全群正规性。二者相等当且仅当 Sylow \(p\)-子群正规。

例子与边界

知识网络

Fitting 子群把所有 \(p\)-核相乘；次正规词条解释次正规局部子群为何落入核；Sylow 词条给出交刻画。

• Fitting 子群
• Sylow p-子群
• 次正规子群

证明与来源

Sylow 交刻画与 Brodkey 型结果见原书 1F；次正规包含见习题 2A.1。完整结构证明在 Fitting 与次正规主干词条中。 ^{[1, sec. 1F and problem 2A.1]}