广义 Fitting 子群

广义 Fitting 子群 \(F^*(G)\) 把有限群的两类规范正规结构合在一起：可解方向的正规幂零层 \(F(G)\)，以及非可解方向的拟单分量所生成的层 \(E(G)\)。它在任意有限群中都包含自己的中心化子，因此替代了只在可解群中自中心化的普通 Fitting 子群。^{[1, pp. 271-281]}

拟单群与分量

若 \(L\) 拟单，则每个真正规子群都包含于 \(Z(L)\)。的确，真正规子群在 \(L/Z(L)\) 中的像只能平凡；而任何非平凡商仍是拟单群。这种刚性是分量可以像“非阿贝尔原子”一样工作的原因。

分量交换定理

所以不同分量可能有非平凡中心交，却逐元素交换；它们的乘积一般是中心积而非必为直积。

层

自同构置换分量，所以 \(E(G)\operatorname{char}G\)。不同分量交换，因而 \(E(G)\) 是它们的中心积，并满足

是非阿贝尔单群的直积，即半单群。

特别地，\([E(G),F(G)]=1\)。

定义与结构

因为 \(F(G)\) 与 \(E(G)\) 彼此中心化，\(F^*(G)\) 是中心积。其中心可能同时来自 Fitting 层和分量中心。它是特征子群，并包含 \(F(G)\)、所有分量及所有极小正规子群。

若 \(G\) 可解，则没有非阿贝尔拟单分量，故 \(E(G)=1\) 且 \(F^*(G)=F(G)\)。若 \(G\) 非阿贝尔单，则 \(F(G)=1\)、\(E(G)=G\)，所以 \(F^*(G)=G\)。

自中心化定理

这一定理是 \(F^*(G)\) 的决定性性质。它给出忠实共轭作用

在适当意义下把剩余结构嵌入广义 Fitting 层的外自同构群。

极小正规子群与基座

有限群的极小正规子群要么是初等阿贝尔 \(p\)-群，要么是若干同构非阿贝尔单群的直积。前者包含于 \(F(G)\)，后者的简单直因子在适当中心覆盖中对应分量结构。因此

但通常严格包含。例如 extraspecial \(p\)-群 \(P\) 的基座可能只是 \(Z(P)\)，而 \(F^*(P)=F(P)=P\)。

例子

广义 Fitting 列与高度

递归定义

最小的 \(h\) 使 \(F_h^*(G)=G\) 称为广义 Fitting 高度。对可解群它退化为普通 Fitting 高度；对非阿贝尔单群高度为 \(1\)。该高度在研究非可解长度、置换群基座和算法识别时很有用。

与自同构塔的关系

若 \(G\) 无中心，则内自同构群 \(\operatorname{Inn}(G)\cong G\) 在 \(\operatorname{Aut}(G)\) 中正规且自中心化。沿自同构塔

广义 Fitting 层和自中心化次正规子群给出群阶上界，构成 Wielandt–Schenkman 自同构塔终止证明的结构基础。^{[1, pp. 279-287]}

相关词条

• Fitting 子群
• 拟单群
• 群的分量
• 群的层
• 群的基座
• 自同构塔

本文沿 Isaacs 第 9 章从拟单群、分量、层到 \(F^*(G)\) 的证明顺序独立重写，补充了极小正规子群、几乎单群和广义高度的定位；术语与标准有限群教材及公开百科来源交叉核验。^{[1, pp. 271-294] [2, pp. 31-36] [3]}