中心化子

中心化子 \(C_G(X)\) 记录全群中与集合 \(X\) 逐元素交换的部分。它既是共轭作用的稳定子，又是测量非交换性的基本局部子群。 ^{[1, thm. 1.5, 1.19 and sec. 4A]}

定义

若 \(H\leq G\)，则 \(C_G(H)\) 是正规化子 \(N_G(H)\) 的正规子群，商 \(N_G(H)/C_G(H)\) 忠实嵌入 \(\operatorname{Aut}(H)\)。

核心结论

共轭作用下 \(x^g=x\) 当且仅当 \(gx=xg\)，所以稳定子就是 \(C_G(x)\)；轨道-稳定子给出类大小。正规化子商的嵌入来自共轭同态。

结构性质

• \(C_G(X)=\bigcap_{x\in X}C_G(x)\)，因此是子群。
• \(C_G(X)\) 只依赖于 \(\langle X\rangle\)；生成集足以计算整个子群的中心化子。
• 若 \(M,N\triangleleft G\) 且 \(M\cap N=1\)，则 \([M,N]\leq M\cap N=1\)，所以二者互相中心化。
• 有限群中 \(|x^G|=|G:C_G(x)|\)，大中心化子对应小共轭类。
• 广义 Fitting 定理给出 \(C_G(F^*(G))\leq F^*(G)\)，是中心化子控制全局结构的典型结果。

正规化子描述集合级保持，中心化子描述逐点保持；二者之商正是由共轭诱导的自同构群。

例子与边界

知识网络

类方程使用元素中心化子计数，交换子词条给出 \([X,Y]=1\) 的等价语言，广义 Fitting 词条展示自中心化层。

• 正规化子
• 群的中心
• 类方程

证明与来源

共轭类公式见原书定理 1.5；正规子群交平凡则中心化是习题 1F.1 和定理 2.7；交换子版本见第 4A 节。 ^{[1, thm. 1.5, 1.19 and sec. 4A]}