上中心列

上中心列从幺元开始，逐层把当前商群的中心提升回原群。它给出幂零群最直接的规范定义。 ^{[1, thm. 1.20-1.22 and sec. 4C]}

定义

\(Z_1(G)=Z(G)\)。不要把上标中心与元素或子群中心化子记号混淆。

核心结论

等价定义来自商群中心条件。最快性按 \(i\) 归纳：若 \(N_i\leq Z_i\)，中心因子条件把 \(N_{i+1}\) 送入 \(Z_{i+1}\)。与下中心列比较得到幂零类判据。

结构性质

• 每个 \(Z_i(G)\) 是特征子群。
• 若 \(G\) 有限且每个非平凡商中心非平凡，上中心列必严格增长并终止于 \(G\)。
• 幂零群的真子群正规化子严格增长，证明通过选择最先离开子群的 \(Z_i(G)\)。
• 商群的上中心列可能比 \(Z_i(G)N/N\) 更大，通常只有包含关系。
• 上中心列因子都是阿贝尔，故幂零群可解。

上中心列强调中心扩张；下中心列强调长交换子消失。两者在幂零类上相遇。所有有限层的并称为超中心 \(Z_\infty(G)\)；对有限群，超中心等于某个稳定项，但在无限群中可能需要超限中心列。

例子与边界

知识网络

下中心列给出对偶判据，幂零群主干词条证明有限群等价条件，中心词条是第一层。对子群只保证其上中心项落在环境群相应层的某些交中，不能无条件逐项取等。

• 下中心列
• 幂零群
• 群的中心

证明与来源

定义和有限群中心判据见原书定理 1.20-1.22；与交换子列的比较见第 4C 节。 ^{[1, thm. 1.20-1.22 and sec. 4C]}