对称群

对称群 \(S_n\) 是 \(n\) 个对象全部置换组成的群，是所有次数 \(n\) 置换群的环境群，也是 Cayley 表示的通用目标。 ^{[1, ch. 8 and Appendix]}

定义

置换写成互不相交循环的乘积。循环型给出整数分拆，并决定 \(S_n\) 中共轭类。

核心结论

任意循环分解为换位，相邻换位可生成任意换位。正规子群结论使用 \(A_n\) 单性以及正规子群与 \(A_n\) 的交；见原书定理 8.27-8.28。

结构性质

• \(|S_n|=n!\)，自然作用为 \(n\)-传递。
• 中心在 \(n\geq3\) 时平凡。
• \(S_n'=A_n\) 对 \(n\geq2\) 的适当非平凡范围成立。
• 共轭类由循环型决定，中心化子阶由循环长度与重复数计算。
• \(S_6\) 有异常外自同构，是一般自同构结构的唯一高次数例外。

对称群同时提供置换群容器、非阿贝尔群例子和交错单群的扩张。

例子与边界

知识网络

交错群是指数二正规子群，共轭类由循环型组织，多重传递描述自然作用。

• 交错群
• 共轭类
• 多重传递

证明与来源

置换基础见附录与第 8A 节；交错群单性及正规子群结论见定理 8.27-8.28。 ^{[1, ch. 8 and Appendix]}