自同构塔

自同构塔把中心平凡群识别为其内自同构群，再反复取全部自同构。Wielandt 定理说明有限情形不会无限产生本质新群。 ^{[1, thm. 9.10-9.22]}

定义

中心平凡保证每一步内自同构映射单射；有中心时需使用更一般的塔定义。

核心结论

内自同构群在自同构群中正规且自中心化。Schenkman 定理控制自中心化次正规子群的完满剩余，Wielandt 有界性使群阶不能无限增长，最后有限链稳定。

结构性质

• 稳定等价于当前群完备。
• 每一步前项作为内自同构群正规嵌入后项。
• 中心化子条件防止塔中出现与原层独立的新正规部分。
• 广义 Fitting 子群提供控制自同构作用的规范层。
• 无限群的自同构塔可能需要超限步骤，行为更复杂。

该定理把“反复加入外自同构”证明为有限过程，是有限群自对称结构的封闭性结果。每一步都用内自同构把前一层正规嵌入后一层；当某一步成为完备群，后续各层便同构而停止增长。中心平凡是假设的关键，因为有中心时自然映射可能有核，塔不再具有同样的嵌套解释。

例子与边界

知识网络

完备群是稳定点，广义 Fitting 子群控制内层，次正规自中心化定理给出阶界。

• 完备群
• 广义 Fitting 子群
• 次正规子群

证明与来源

Wielandt 自同构塔定理及 Schenkman–Pettet 证明路线见原书定理 9.10-9.22。 ^{[1, thm. 9.10-9.22]}