完备群

完备群没有中心误差，也没有外自同构。把它嵌入自身自同构群时不会产生更大的新结构，因此是自同构塔的固定点。 ^{[1, sec. 9B]}

定义

中心平凡使 \(G\cong Inn(G)\)；第二条件等价于 \(Out(G)=1\)。

核心结论

第一结论直接来自内自同构映射核为中心、像为 \(Inn(G)\)。塔终止使用 Wielandt–Schenkman 的有界性与有限上升链论证。

结构性质

• 完备群必中心平凡。
• 完备性比所有自同构内自同构多要求中心平凡。
• \(S_n\) 对多数 \(n\) 是完备，\(S_6\) 因异常外自同构例外。
• 非阿贝尔单群未必完备，因为可能有外自同构。
• 两个适当完备群的直积完备性还需排除同构直因子交换。

完备性把内在共轭完全等同于外部对称，是自同构结构的刚性终点。中心平凡保证 \(G\to\operatorname{Inn}(G)\) 为同构，外自同构群平凡则保证该像已经等于整个自同构群。于是完备群不再通过取自同构群产生新的层；这也是自同构塔稳定的准确判据，而不只是“自同构很少”的非正式说法。

例子与边界

知识网络

自同构塔以完备群终止，对称群提供例子，广义 Fitting 层帮助控制自同构。

• 自同构塔
• 对称群
• 广义 Fitting 子群

证明与来源

内自同构、中心化与自同构塔稳定讨论见原书第 9B 节。 ^{[1, sec. 9B]}