交换子

交换子（commutator）度量群元素偏离交换性的程度。由交换子生成的子群、导出列和下中心列分别控制阿贝尔化、可解性与幂零性；交换子恒等式也是有限 \(p\)-群、互素作用、转移和局部群论中的基本计算工具。^{[1, pp. 113-146]}

定义与约定

不同文献也使用逆向约定 \(xyx^{-1}y^{-1}\)；引用公式时必须先核对约定，否则共轭位置和逆元会改变。

对子群 \(H,K\leq G\)，定义

注意 \([H,K]\) 是由交换子生成的子群，一般不等于交换子集合本身。特别地，导出子群

中的元素未必都能写成单个交换子。

基本恒等式

在上述约定下：

以及

这些公式说明固定 \(z\) 后，映射 \(x\mapsto[x,z]\) 类似交叉同态；在交换子落入中心的二步幂零群中，它进一步成为普通同态。

商群、正规化与中心化

若 \(N\triangleleft G\)，在商群中有

因此 \(H\) 与 \(K\) 的像在 \(G/N\) 中彼此中心化，当且仅当

另外，

特别地，\(H\triangleleft G\) 当且仅当 \([H,G]\leq H\)。如果 \(H\) 与 \(K\) 互相正规化且 \(H\cap K=1\)，则 \([H,K]=1\)，故两者逐元素中心化。

导出子群与阿贝尔化

因此 \(G/G'\) 称为 \(G\) 的阿贝尔化。任意同态 \(G\to A\) 到阿贝尔群 \(A\) 都唯一地经由 \(G/G'\) 分解。

递归定义导出列

\(G\) 可解当且仅当某个 \(G^{(n)}=1\)；最小这样的 \(n\) 是导出长度。

多重交换子与下中心列

采用左结合约定

下中心列定义为

Isaacs 记 \(\gamma_n(G)\) 为 \(G^n\)；为避免与幂子群混淆，本词条采用较常见的 \(\gamma_n(G)\)。

该结论由三子群引理归纳得到。它推出

若 \(G\) 幂零类为 \(c\)，即 \(\gamma_{c+1}(G)=1\) 而 \(\gamma_c(G)\ne1\)，则导出长度至多

三子群引理

该定理是 Hall–Witt 恒等式的子群形式，使三个变量中的两个循环条件可以推出第三个。它是下中心列交换子估计、互素作用和信号子函子方法中的常见工具。

二步幂零群

若 \(G\) 的幂零类至多为 \(2\)，则 \(G'\leq Z(G)\)，所有交换子都中心化。于是

并有幂公式

对奇素数 \(p\)，二步幂零 \(p\)-群的幂映射具有良好性质。例如若 \(P'\) 的指数整除 \(p^e\)，则 \(P/Z(P)\) 的指数也整除 \(p^e\)。这是因为

阿贝尔正规子群与循环商

交换子收集

交换子收集（collection process）把任意群词按指定顺序整理为生成元幂与越来越高权的交换子乘积。在幂零群中，高权交换子最终消失，所以过程有限终止。这一方法用于：

• 推导 \((xy)^n\) 的修正项；
• 控制 \(p\)-群的指数和幂零类；
• 比较导出列与中心列；
• 证明正规 \(p\)-补与互素作用定理；
• 构造幂零群的多项式坐标。

常见误解

相关词条

• 导出子群
• 导出列
• 下中心列
• 幂零群
• 可解群
• Hall–Witt 恒等式
• 三子群引理
• 交换子收集

Wikipedia 的“Commutator”条目用于交叉核对一般代数背景；本词条的群论约定、定理和证明按 Isaacs 第四章组织。对应修订按 CC BY-SA 署名。^[2]