导出子群

导出子群 \(G'\) 收集群中全部非交换性。商掉它后得到最大的阿贝尔商，因此它同时由生成式和泛性质刻画。 ^{[1, sec. 4A and Appendix]}

定义

子群 \(H,K\) 的交换子群 \([H,K]\) 由所有 \([h,k]\) 生成；\(G'=[G,G]\)。不同交换子约定会改变公式外观但不改变生成子群。

核心结论

在 \(G/G'\) 中有 \(G'x\,G'y=G'xy=G'yx\)。若 \(N\triangleleft G\) 且 \(G/N\) 阿贝尔，则每个 \([x,y]\in N\)，所以 \(G'\leq N\)。这同时证明泛性质。

结构性质

• \(G'\operatorname{char}G\)，因为自同构把交换子送到交换子。
• \(G\) 阿贝尔当且仅当 \(G'=1\)；\(G\) 完满当且仅当 \(G'=G\)。
• 同态像满足 \(\varphi(G')=\varphi(G)'\)；对子群通常只有 \(H'\leq G'\)。
• 若 \(G/N\) 阿贝尔，则 \(G'\leq N\)；若 \(N\leq Z(G)\)，\(G'\) 的结构受二阶交换子控制。
• 转移同态总杀死 \(G'\)，因为目标是阿贝尔群。

导出子群把“所有映向阿贝尔群的信息”统一为一个规范商，是可解列、阿贝尔化和转移理论的公共入口。它还决定一维表示：复数域上的线性特征恰经由有限阿贝尔群 \(G/G'\) 分解。

例子与边界

知识网络

交换子主干词条给出恒等式，导出列迭代该构造，阿贝尔化表达其泛性质。

• 交换子
• 导出列
• 阿贝尔化

证明与来源

定义、最小核性质与同态行为见原书第 4A 节及附录；短证明保留于此。 ^{[1, sec. 4A and Appendix]}