导出列

导出列逐层消去阿贝尔商，衡量一个群需要多少层阿贝尔扩张构成。它终止于幺元正是可解性的定义。 ^{[1, sec. 4B]}

定义

若最小的 \(d\) 满足 \(G^{(d)}=1\)，则 \(d\) 是导出长度。也有文献把阿贝尔非平凡群长度记为 \(1\)，与本文一致。

核心结论

每个因子 \(G^{(i)}/G^{(i+1)}\) 阿贝尔。扩张结论由 \((G/N)^{(i)}=G^{(i)}N/N\) 和在商列终止后导出列进入 \(N\) 得到。

结构性质

• 每个 \(G^{(i)}\) 都是 \(G\) 的特征子群。
• 子群和商群的导出长度不超过原群；可解群类对扩张封闭。
• 幂零群可解，但可解群未必幂零，例如 \(S_3\)。
• 完满群满足 \(G'=G\)，其导出列不下降，除平凡群外不可解。
• 有限群的最后稳定项 \(G^{(\infty)}\) 是最小的正规子群，使商可解。

导出列关注阿贝尔因子；下中心列关注中心因子。两者都用交换子，但测量不同层次。若群由若干可解正规子群逐层扩张构成，导出长度的加法上界可逐层迭代；直积的导出长度则是各因子长度的最大值。

例子与边界

知识网络

导出子群给出一步构造，可解群主干词条解释扩张结构，下中心列用于比较幂零性。导出列还可对群的同态像逐项计算，因此特别适合在正规商归纳中同步跟踪可解长度。

• 导出子群
• 可解群
• 下中心列

证明与来源

导出列、可解扩张与稳定末项见原书第 4B 节；主证明由导出子群的商相容性给出。 ^{[1, sec. 4B]}