分裂扩张与半直积

分裂扩张是可以由核和商之间的作用完整重建的群扩张。它等价于扩张中存在一个补子群，也等价于商映射存在群同态截面。相应的群正是半直积。分裂扩张把群的构造问题转化为自同构作用、补子群共轭和交叉同态问题，是有限群结构论的基本工具。^{[1, pp. 65-112]}

群扩张

仅知道 \(N\) 与 \(Q\) 的同构类型通常不能确定 \(G\)。例如 \(C_4\) 与 \(V_4\) 都是 \(C_2\) 被 \(C_2\) 的扩张，却不同构。还必须知道商对核的作用以及一个可能的“扭曲”数据。

分裂的等价条件

外半直积

给定群 \(N,H\) 和同态

在集合 \(N\times H\) 上定义

所得群记作 \(N\rtimes_\varphi H\)。

当 \(\varphi\) 平凡时，半直积退化为直积 \(N\times H\)。因此“半直”所记录的正是补子群对正规核的非平凡共轭作用。

内半直积

若 \(N,H\leq G\) 满足

则称 \(G\) 是 \(N\) 与 \(H\) 的内半直积。每个元素都有唯一表达 \(g=nh\)。若还满足 \(H\triangleleft G\)，则 \([N,H]\leq N\cap H=1\)，所以内半直积其实是直积。

作用与同构分类

两个作用 \(\varphi,\psi:H\to\operatorname{Aut}(N)\) 若存在 \(\alpha\in\operatorname{Aut}(N)\) 与 \(\beta\in\operatorname{Aut}(H)\) 使

则相应半直积同构。反过来，若要求同构保留指定的核与商，这一轨道条件也必要。

当 \(N=C_p\) 时，

所以阶为 \(pq\) 的非阿贝尔群存在问题归结为 \(q\mid p-1\) 时从 \(C_q\) 到 \(C_{p-1}\) 的非平凡作用。这正解释了 Sylow 理论中阶为 \(pq\) 的分类。

补子群与交叉同态

固定分裂扩张 \(G=N\rtimes H\)。另一个补子群往往是某个函数 \(\delta:H\to N\) 的图：

它为子群，当且仅当

即 \(\delta\) 是交叉同态（非阿贝尔 \(1\)-余循环）。以 \(N\) 中元素共轭补子群对应于主交叉同态。因此补子群的 \(N\)-共轭类由非阿贝尔上同调集合 \(H^1(H,N)\) 控制。

这一定理说明有限互素扩张在很宽的条件下分裂且补子群本质唯一。完整证明见 Schur–Zassenhaus 定理。

典型例子

非分裂扩张

这些例子说明一个扩张是否分裂不能只从核和商的抽象同构类型判断。阿贝尔核情形的障碍由 \(H^2(Q,N)\) 中的扩张类刻画。

与 wreath 积的关系

每个扩张都可嵌入某个 wreath 积，这是 Kaloujnine–Krasner 定理。分裂扩张是其中最直接的情形：作用 \(H\to\operatorname{Aut}(N)\) 已经给出全部乘法，不再需要非平凡 \(2\)-余循环。原书第 3 章使用 wreath 积统一处理共轭作用和互素扩张。^{[1, pp. 83-92]}

相关词条

• 群扩张
• 补子群
• Schur–Zassenhaus 定理
• 交叉同态
• 互素作用
• Wreath 积

本文依照 Isaacs 第 3 章的补子群与作用主线重新组织，并用群扩张标准语言补全内外半直积、上同调障碍和反例；术语与公开百科修订交叉核验。^{[1, pp. 65-112] [2, pp. 211-229] [3] [4]}