交叉同态

交叉同态是把普通同态公式按群作用扭曲后的对象。它的图恰是半直积中的补子群，因此把补的分类转化为函数方程。 ^{[1, sec. 3A-3B]}

定义

交叉同态常称 \(1\)-余循环。由 \(n\in N\) 给出的 \(\delta_n(h)=n^{-1}{}^h n\) 称为主交叉同态或 \(1\)-余边界。

核心结论

计算两图元素的乘积：\((\delta(h),h)(\delta(k),k)=(\delta(h){}^h\delta(k),hk)\)。闭包恰等价于余循环公式；用 \((n,1)\) 共轭图给出主余边界变换。

结构性质

• 阿贝尔 \(N\) 时，交叉同态组成阿贝尔群 \(Z^1(H,N)\)。
• 模去主交叉同态得到 \(H^1(H,N)\)；非阿贝尔情形通常只是带基点集合。
• 补的存在对应至少一个余循环图，固定标准补对应零余循环。
• 互素可解条件下 Schur–Zassenhaus 的补共轭等价于相应 \(H^1\) 平凡。
• 导子 \(h\mapsto g^{-1}g^h\) 是最基本的主交叉同态。

交叉同态是群扩张、仿射作用和非阿贝尔上同调之间的共同坐标；它保留作用导致的非交换次序。

例子与边界

知识网络

补子群是余循环的几何图，分裂扩张给出半直积环境，互素作用决定何时所有补共轭。

• 补子群
• 分裂扩张与半直积
• 互素作用

证明与来源

补的图和共轭参数化来自原书第 3A-3B 节；上同调记号用于概括同一计算，并不替代群论证明。 ^{[1, sec. 3A-3B]}