补子群

补子群是分裂扩张在群内部的具体表现。它复制商群，并通过共轭作用说明全群如何由核与商组装。 ^{[1, sec. 3A-3B]}

定义

限制商映射 \(\pi:G\to G/N\) 到 \(H\) 得到同构 \(H\cong G/N\)。元素有唯一分解 \(g=nh\)，但通常 \(hn\neq nh\)。

核心结论

补上商映射的限制是同构，其逆给出截面；截面的像反向给出补。半直积同构由 \((n,h)\mapsto nh\) 构造。互素存在与共轭证明见主干定理词条。

结构性质

• 补的阶等于指数 \(|G:N|\)，与 \(|N|\) 是否互素取决于具体扩张。
• 不同补不必相等；它们的共轭类由交叉同态或非阿贝尔 \(H^1\) 控制。
• 若补也正规，则 \([N,H]\leq N\cap H=1\)，所以 \(G=N\times H\)。
• 补的存在不等于正规补；术语“\(p\)-补”通常要求阶为 \(p'\)、指数为 \(p\) 的幂，而“正规 \(p\)-补”还要求正规。
• 在 Frobenius 群中，点稳定子是核的补，并固定点自由地作用于核。

补把商群从抽象因子提升为 \(G\) 内的实际子群，因此能直接使用共轭、正规化子和作用。

例子与边界

知识网络

分裂扩张解释等价条件，Schur–Zassenhaus 给出互素存在与共轭，交叉同态参数化固定半直积中的补。

• 分裂扩张与半直积
• Schur–Zassenhaus 定理
• 交叉同态

证明与来源

定义、截面等价和共轭问题见原书第 3A-3B 节；详细证明集中在分裂扩张与 Schur–Zassenhaus 主干词条。 ^{[1, sec. 3A-3B]}