可置换子群

可置换性把集合乘积 \(HK\) 与 \(KH\) 的相等作为弱于相互正规化的条件。它不直接给出正规链，但在有限群中可借 Wielandt 拉链引理推出次正规性。 ^{[1, thm. 2.8-2.10]}

定义

当 \(HK=KH\) 时集合乘积是子群；这不等价于 \(H\leq N_G(K)\) 或 \(K\leq N_G(H)\)。

核心结论

对 \(|G|\) 归纳可知 \(S\) 在每个真上界中次正规。若它不在 \(G\) 中次正规，拉链引理给出唯一极大上界；共轭可置换使该唯一上界在足够多共轭下不变，最终迫使其为 \(G\)，矛盾。见定理 2.8-2.10。

结构性质

• 若 \(H\) 正规，则它与每个子群可置换；反向一般不成立。
• 可置换的有限子群满足 \(|HK|=|H||K|/|H\cap K|\)。
• 若两个子群阶互素且可置换，其乘积是半直积型子群，但两者未必都正规。
• 共轭可置换足以得到次正规，但通常不足以得到正规。
• 拟正规子群的同态像仍拟正规；逆像在自然条件下也保持。

该概念位于正规性与任意子群之间，适合把乘积分解条件转换成次正规结构。可置换子群常具有模性，但“模子群”“可置换子群”和“次正规子群”是不同层级，只有在附加有限性或格条件下才有进一步等价。

例子与边界

知识网络

次正规主干词条给出结论，拉链引理承担关键归纳，正规化子说明更强的集合保持条件。

• 次正规子群
• Wielandt 拉链引理
• 正规化子

证明与来源

共轭可置换推出次正规的完整证明见原书定理 2.8-2.10；本词条保留准确条件和边界。 ^{[1, thm. 2.8-2.10]}