Mackey 转移公式

Mackey 公式描述从 \(G\) 到 \(H\) 的转移限制在另一子群 \(K\) 时，如何按 \((H,K)\)-双陪集分解为局部交子群的转移。 ^{[1, thm. 10.10]}

定义

共轭把 \(K\cap H^x\) 的局部值送回 \(H\)；公式最终在 \(H/H'\) 中相乘。

核心结论

将 \(H\) 的右陪集按 \(K\)-轨道分组；轨道与双陪集对应，每个轨道的稳定子是共轭后的 \(K\cap H^x\)。逐轨道求值即得局部预转移乘积。

结构性质

• 它是表示论 Mackey 分解的群论转移版本。
• 每个双陪集贡献一个交子群局部项。
• 当 \(K\leq H\) 时退化为较简单限制公式。
• 配合转移传递性可沿局部链进一步分解。
• Yoshida 定理用它比较全群转移与 Sylow 内指数 p 转移。

Mackey 公式把两个不嵌套子群之间的关系组织为双陪集，避免直接处理整个横截。每个双陪集只需研究交子群 \(H\cap K^x\)，再通过共轭和局部转移汇总；这与表示论中限制—诱导的 Mackey 分解具有同一组合骨架。公式因此既是计算工具，也是判断哪些局部交真正影响转移像的筛选原则。

例子与边界

知识网络

预转移给出局部项，传递性处理嵌套方向，Yoshida 是核心应用。

• 预转移
• 转移传递性
• Yoshida 转移定理

证明与来源

双陪集轨道证明与公式见原书定理 10.10。 ^{[1, thm. 10.10]}