有限群

有限群是底集合有限的群。有限性使计数、整除、轨道和归纳成为结构工具；本书中的 Sylow 理论、转移、Frobenius 作用和置换群均在这一范畴内展开。 ^{[1, Appendix, pp. 325-344]}

定义

有限群的同构类型与具体元素命名无关。写 \(H\leq G\) 表示子群，\(N\triangleleft G\) 表示正规子群；只有在 \(N\) 正规时才定义商群 \(G/N\)。

核心结论

Lagrange 定理由互不相交且等势的陪集分割 \(G\) 得到；元素阶结论取 \(H=\langle g\rangle\)。完整证明与第一同构定理、陪集乘法的条件见原书附录。

结构性质

• 有限群中的严格子群链长度有界，所以按群阶归纳总能终止。
• 每个有限群通过 Cayley 右正则作用嵌入 \(S_{|G|}\)，从而可视为有限置换群。
• 有限阿贝尔群分解为素数幂阶循环群的直积；非阿贝尔有限群没有同样简单的统一分解。
• 正规子群与商群把结构分层；极大正规列的因子是单群，Jordan–Hölder 定理保证合成因子的多重集合不变。
• 有限群的局部信息按素数组织：\(p\)-子群、Sylow 子群、\(p\)-核和 Hall 子群是基本对象。

“有限”不仅是规模限制。它把轨道大小、共轭类大小和子群指数变成整数整除关系，并允许从真子群和真商群递归恢复全群。

例子与边界

知识网络

本词条是全书基础入口；具体结构分别由 Sylow、合成列和置换表示主干词条展开。

• Sylow 定理
• 置换群
• 合成列

证明与来源

定义、陪集计数、同态定理和有限群基本记号依原书附录核对；证明在对应主干词条展开。 ^{[1, Appendix, pp. 325-344]}