Glauberman 引理

Glauberman 引理把普通传递性提升为固定点子群的传递性，是选择不变 Sylow、Hall 和补子群的统一工具。 ^{[1, sec. 3E]}

定义

条件 \((|A|,|G|)=1\) 是两个作用群阶互素，不要求 \(|A|\) 与 \(|\Omega|\) 互素。

核心结论

把 \(\Omega\) 写成陪集空间 \(G/H\)，在半直积 \(G\rtimes A\) 中将 \(A\)-固定陪集解释为补子群的包含。Schur–Zassenhaus 的互素补共轭允许调整陪集代表到 \(C_G(A)\)。完整证明见互素作用主干词条。

结构性质

• 应用于 Sylow 子群的共轭轨道可得 \(A\)-不变 Sylow 子群存在。
• 任意两个 \(A\)-不变 Sylow 子群由 \(C_G(A)\) 共轭。
• 可解群中同样得到 \(A\)-不变 Hall 子群及其固定点共轭。
• 应用于补子群集合可得到不变补和补的受控共轭。
• 固定点提升公式 \(C_{G/N}(A)=C_G(A)N/N\) 是同一互素机制的群内版本。

引理把“整个群能移动两个对象”加强为“中心化作用群的元素已经足够移动两个固定对象”。

例子与边界

知识网络

互素作用主干词条给出证明和固定点提升，Sylow 与 Schur–Zassenhaus 分别提供两个主要应用场景。

• 互素作用
• Sylow p-子群
• Schur–Zassenhaus 定理

证明与来源

原书第 3E 节以补共轭证明 Glauberman 引理；完整推导已收入互素作用主干词条。 ^{[1, sec. 3E]}