Frobenius 补

Frobenius 补是点稳定子，也是核的补子群。它对核的非幺元素固定点自由，因此其自身结构受到远强于普通有限群的限制。 ^{[1, thm. 6.4 and 6.9-6.19]}

定义

补的所有共轭恰是不同点稳定子；它们的非幺部分两两不交。

核心结论

固定点自由互素作用排除 \(C_p\times C_p\) 子群，故每个 Sylow \(p\)-子群至多有一个阶 \(p\) 子群。有限 p-群分类引理给出循环或广义四元数。见定理 6.9-6.19。

结构性质

• \(|H|\) 整除 \(|N|-1\)，所以与核阶互素。
• 补的任意子群仍固定点自由作用于核，因此也是 Frobenius 补。
• 若 \(|H|\) 偶，则 \(H\) 有唯一 involution，且核阿贝尔。
• 补整体不必循环、阿贝尔或幂零。
• 补在核上的作用忠实；中心化核的补元素只能是幺元。

补的局部 Sylow 限制来自它必须同时固定点自由作用于同一个核，而非纯粹来自自身群阶。

例子与边界

知识网络

核词条提供作用对象，无固定点自同构解释局部条件，广义四元数群是 Sylow 2-结构的例外。

• Frobenius 核
• 无固定点自同构
• 广义四元数群

证明与来源

补的等价判据与结构限制见原书定理 6.4、6.9-6.19；详细推导在 Frobenius 主干词条。 ^{[1, thm. 6.4 and 6.9-6.19]}