无固定点自同构

自同构 \(\alpha\) 若只固定幺元，称无固定点。这样的作用极强：有限情形下作用阶与群阶互素，并迫使核具有显著的可解或幂零结构。 ^{[1, sec. 6A-6C]}

定义

“无固定点”通常允许幺元固定；准确说是无非平凡固定点。

核心结论

\(A\) 在 \(N\setminus\{1\}\) 上半正则，所以轨道大小为 \(|A|\)，得 \(|A|\mid|N|-1\)。半直积满足 Frobenius 交条件；核幂零证明见主干词条。

结构性质

• 素数阶无固定点自同构使有限群幂零；更精细结果给出幂零类界。
• 若无固定点自同构阶为 \(2\)，有限群为奇数阶阿贝尔群，且自同构为取逆。
• 固定点自由作用传到不变商，但对子群需该子群作用不变。
• 阿贝尔群上该条件等价于线性算子 \(a-1\) 可逆。
• 多个自同构共同作用时必须每个非幺作用元素都无固定点，不能只检查生成元。

它把动力学式固定点条件转化为半直积的 Frobenius 结构，是互素作用最刚性的极端。

例子与边界

知识网络

Frobenius 群把作用外化为半直积，互素作用提供一般工具，幂零群描述 Thompson 结论。

• Frobenius 群
• 互素作用
• 幂零群

证明与来源

轨道计数、互素性、半直积判据及核幂零性见原书第 6A-6C 节。 ^{[1, sec. 6A-6C]}