Maschke 定理

Maschke 定理用平均化把任意线性投影改造成群不变投影，是互素作用在线性代数中的核心形式。 ^{[1, thm. 10.16-10.17]}

定义

初等阿贝尔 \(p\)-群可视为 \(\mathbf F_p\)-向量空间；此时条件为 \(p\nmid|K|\)。

核心结论

先取任意投影 \(\pi:V\to U\)，平均为 \(\bar\pi=|K|^{-1}\sum_{k\in K}k^{-1}\pi k\)。它仍投影到 \(U\) 且与 \(K\) 作用交换，核即不变补。

结构性质

• 平均化需要群阶在域中可逆。
• 完全可约意味着每个短正合模列分裂。
• 阿贝尔互素作用分解 \(V=C_V(K)\oplus[V,K]\) 是特例。
• 原书使用群版定理处理初等阿贝尔 p-群与 metacyclic 转移。
• 定理不要求域代数闭。

Maschke 平均化是 Schur–Zassenhaus 和一般互素作用中“可选择不变补”的线性原型。

例子与边界

知识网络

互素作用推广平均化思想，初等阿贝尔 p-群提供线性对象，metacyclic 转移使用不变补。

• 互素作用
• 初等阿贝尔 p-群
• 亚循环群

证明与来源

群作用版本与初等阿贝尔推论见原书定理 10.16-10.17。 ^{[1, thm. 10.16-10.17]}