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数学的本质在于它的自由 ——康托尔
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简介	Math.sx是一个由IURT组织-GSEIC(世界科学电子互联网中心)内部集体-Math数学所托管的Math百科
国家	China
所有者	IURT组织GSEIC内部集体·Sean(用户:IURT)
创建日期	2023/1/19 14:30
最后修改日期	2023/04/15
贡献者	IURT
版本	1.0
状态	活跃
许可协议	cc-by-nc-sa

wiki介绍

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数学的本质在于它的自由 ——康托尔

古希腊几何学家阿波洛尼乌斯总结了圆锥曲线理论，一千八百年后由德国天文学家开普勒将其应用于行星轨道理论。

数学家伽罗华公元1831年创立群论，一百余年后获得物理应用。

公元1860年创立的矩阵理论在六十年后应用于量子力学。

数学家J.H.莱姆伯脱，高斯，黎曼，罗马切夫斯基等人提出并发展了非欧几何。高斯一生都在探索非欧几何的实际应用，但他抱憾而终。非欧几何诞生一百七十年后，这种在当时毫无用处的理论以及由之发展而来的张量分析理论成为爱因斯坦广义相对论的核心基础。

总有人会说，有些理论毫无用处。但是，事实证明，如果没有人先去抵达高山，也就没有人敢仰望星空。更没有人会摘得群星，改变我们的现实生活。

哈代曾经说过“美是首要的试金石：丑陋的数学不可能永存”。数学的美，在于它的定义的深刻，逻辑的明晰，结果的完美。在基础拓扑学中，有一个对于2维流形的非常漂亮的分类定理——“任何闭曲面或者同胚于球面，或者同胚于添加了有限多个环柄的球面，或者同胚于挖去有限多个圆盘而以Möbius带代替的球面，并且这些球面之间任意两个互不同胚”

顺便说一句，这个对类似闭曲面这样的东西，推广到n维空间，我们称为流形。对任意维数的流形的分类定理到现在还没有解决。著名的庞加莱猜想就是关于3维流形的同胚的，不过，那已经是另一个故事了。

数学家依据对拓扑空间、同胚等概念的定义，进行逻辑推导，从而完成了对任意闭曲面的分类问题，展现了人类理性之光的深邃与美丽。

其次，数学是一门由从古至今的各种顶尖天才搭建起来的通天塔

数学的魅力之于我，也是古往今来各种天纵奇才和勤勉执着之人，专精于一域和洞悉数学全貌的数学大师们的人格魅力。

有时候晚上打开数学书阅读，看着一个个的充满传奇色彩的名字的时候，仿佛也能透过时空看到当年那些或趴在书桌前奋笔疾书，或蹙眉深思的身影。

亚里士多德、芝诺、祖冲之、秦九韶、牛顿、莱布尼兹、高斯、魏尔斯特拉斯、伽罗瓦、阿贝尔、黎曼、庞加莱、希尔伯特、诺特、柯尔莫戈洛夫、塞尔、格罗腾迪克、佩雷尔曼......

正是他们搭建起来的数学大厦，更新了人类对于空间、测度、结构、变换的理性认识，他们的理论应用于实际时改变了人类生活的全貌，也让我得已在今天在wiki首页写下对他们的敬仰之情。

学数学，研究数学的人总有一双沉静的眼睛，那是因为他们已经见过太多的风景。打开数学书，一瞬间，星汉灿烂，若出其中。

最后，一句话结尾

如果有人不认为数学是简单的，是因为他还没有认识到生活有多复杂 ——冯诺依曼

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写在最后

既然，各位已经读到这里了，那么我们不妨就来看看最后的故事

数学的魅力是什么？

想了解数学的魅力，我推荐一本书，名叫《无言的宇宙》。

虽然名字里有宇宙二字，但这本书讲的却不是天文知识，而是改变世界的 24 个数学公式。在作者达纳·麦肯齐看来，数学不仅是所有科学广泛使用的一种工具，而且是表达宇宙知识的通用语言。

今天的世界，没有人会否认数学对于我们工作生活的重要意义。数学可以帮买菜的大妈速算加减乘除，也可以帮投行经理评估期权价格；可以教阿法狗学会下围棋，也可以让马斯克的猎鹰 9 号运载火箭垂直着陆。然而，如果你仅仅把数学看作一种解决问题的工具，那你就没有看到数学解除我们头脑束缚的方式；如果你仅仅把方程视为数学家们智慧的结晶，那你就看不到宇宙与数学之间息息相关的微妙联系。数学的价值不仅在于它解决问题、创造财富的实用价值，更在于它拓宽了人类的视野；在人类几千年文明史的漫漫征途中，数学就像航海家的罗盘一样，引领着我们探索未知的自然，发现更大的世界。我想，这才是作者通过从古至今改变世界的 24 个数学公式，想要告诉我们的数学之道。

一切，要从 70 年前的一场赌局说起……

愿赌服输

在 1951 年，里约热内卢一个悠闲的下午，诺贝尔奖得主、美国理论物理学家理查德·费曼正在当地一家常去的餐厅吃饭。三十出头的费曼教授之前刚参与了曼哈顿计划，1945 年美国第一颗原子弹试爆成功。这次，玩腻了原子弹的费曼教授，是来巴西公费旅游的。

万万没想到，这难得的休假时间，竟然被一个乱入的算盘推销员给搅黄了。他走进餐厅，向所有人挑战，声称在算数方面，没人能比过他的算盘。这当然是推销员的惯用套路，结果服务员们纷纷起哄，要他证明，他用算盘做算数题能比物理学教授更快。就这样，一个用计算器，一个只靠纯粹的数学技巧心算，算盘推销员和物理学大师之间，也许是史上第一届「最强大脑」式的 PK 就此开始。

刚开始比赛完全一边倒。做加减法时，还没等费曼把数字记在纸上，算盘推销员就已经报出了答案。趾高气昂的推销员又提出和费曼比赛乘法，这一盘费曼依旧败北，但输得没有第一次惨。推销员对于自己没有大获全胜有点惊讶，又不断在越来越难的问题上向费曼挑战，结果他的优势却越来越小。随着比赛的火药味逐渐变浓，推销员已经忘了这个月的业绩指标，教授也忘了自己其实是来吃饭的，说好的游戏升级为一场男人之间的荣誉之战。最后，两人决定用最后一道题来决出胜负：计算 1729.03 的立方根。

算盘高手立刻投入战斗，在算盘上运指如飞。与此同时，费曼却坐着一动不动。几秒钟后，费曼就写出了答案：12.002。过了几分钟，推销员才报出「12.0」，而这时费曼的小数点后面已经又多了几位数字。这场赌赛的结局，是物理学家大获全胜，可怜的推销员在服务生的嘲笑中铩羽而归。

这个真实的故事如果放到今天，肯定得上头条，比如：「惊！人机大战上演终极对决，诺奖得主称霸最强大脑」；又比如：「普通人大脑只开发了 10%，天才物理学家揭示人类潜能」……然而，费曼在他的自传里却说：只要具备一定的数学知识，普通人也能完成心算立方根这样的「神操作」。费曼教授的技巧看上去如同魔法，但揭开谜底你就会发现，它在数学层面上一点也不神秘。

不就是算 1729.03 的立方根吗？首先，你应该知道 1728 是 12 的立方。对于费曼来说，这是一个常识，因为欧美国家用的是英制单位，1 英尺=12 英寸，1 立方英尺=1728 立方英寸。然后，1729.03=1728+1.03，既然 1728 的立方根是 12 ，那么 1729.03 的立方根应该比 12 多一点点。问题是多多少呢？其实我们不需要求出精确值，只需要知道小数点后 3 位的近似值就足够了。如果你学过一些基础的微积分，你一定会想到，有个著名的公式就是为了求近似值而准备的：泰勒展开。把 y=x 的立方根这个函数在 x=1728 附近展开，再带入 1.03，剩下的就是加减乘除四则运算了。同样的技巧也可以用在《最强大脑》节目中大数开多次方根的题目，比如一个 13 位的数字开 14 次方根，看上去很吓人，但其实用到的只是微积分的基础知识，用算近似值的方法估计答案的范围。心算的真正难度并不是什么高深的数学技巧，而是要记忆大量数字的乘方和开方，把尽可能多的基础运算结果存储在大脑中随时调用。

让无数大学生感叹「学这个有什么用」的高等数学，其实无时无刻不在发挥它的威力。然而，在今天这个机器算力指数级暴增的时代，靠双手拨动的机械算盘早已被半导体芯片和软件算法取代，再也没有哪个最强大脑能够战胜一枚 20 块钱的计算器。这是不是意味着，数学是一门终将被机器取代的学科，人类掌握数学已经没有任何意义了？

当然不。因为公式背后的数学概念，要比套用公式、算出正确的结果重要得多。正是这些概念，让人类从茹毛饮血的时代一路走来，掌握了改天换日的力量。《无言的宇宙》讲述的就是这样一个故事：在 24 个数学公式背后，是人类用几千年时间改造自己的大脑，试图理解这个宇宙的努力。

1+1=2，这个最古老的公式，奠定了我们的整个数学体系。从数论到微积分，都起源于这幼儿园水平的加法。而这一切都是因为，人类是一个天生不擅长数学的物种。

说来你可能不信，我们每个人出生时所有的数学天赋，只是 3 以内数字的加法而已。科学家给几个月大的婴儿做实验，给他看一只苹果，然后用一块屏风把苹果遮住，再把另一只苹果放在屏风后，婴儿会意识到这时屏风后应该有两只苹果；如果把屏风撤掉还是一只苹果，婴儿会表现出非常困惑不解。另一个实验是考验人类的数数能力：科学家测试了全世界不同国家和种族的人群，让人用最快速度数一张白纸上有几个黑点。实验发现，如果黑点数量在 3 个以内，数数的时间几乎是一样的，大脑可以不假思索地一口报出答案，而且正确率接近满分；一旦数量在 5、6 个以上，数数的时间就随着黑点数量递增，还经常数错，因为大脑没法直接感知 4 个以上的数量，只能一个一个做加法，求出总和。

这些实验说明，只有 1+1=2 这样的 3 以内整数的加法，是我们与生俱来的直觉，可以不证自明。在语言学中有很多有趣的旁证：甲骨文和罗马字母中的数字，前 3 个数字几乎是一样的，1 是一道杠，2 是两道杠，3 是三道杠，4 以上就各有不同了。其原因可想而知：如果 7 是 7 道杠或者 7 个点的话，好像谁都没法一眼认出来吧！再比如，古汉语中说「3 次」，其实是 N 次的意思，「三顾茅庐」不是说刘备真的只约了三次就说服了诸葛亮。在还没点开数学技能的古人看来，3 个以上就数不清了，只能称之为「若干」。如果一万年前有个远古时代的数学家，他每天的数学研究工作大概就是盘点一下洞里还剩几条羊腿，再数数今晚有几张吃饭的嘴。如果数字再多些，就得掰手指头、甚至脚指头，于是十进制与二十进制诞生了。现在法语中的数字，就是十进制和二十进制的混合体，比如 70 不叫 7 个 10，而叫作 3 个 20 再加 10。

既然人类天生只会做 3 以内的加法，那么数学世界中剩下的一切，什么开根号、什么微积分，都是从哪儿来的呢？没错，这些都是在 1+1=2 的基础上，推理演绎出来的！不信的话，请跟我来：

乘法是「连续加法」的简写形式，比如 2x3 等于 3 个 2 相加；减法就是加上一个负数；除法则是「连续减法」。加减乘除四则运算，其实不过是加法的 4 种不同形式而已。既然乘法就是加法，那么平方、立方这些「连续乘法」，以及平方根和立方根这些「连续除法」，也都是加法。甚至微积分这样所谓的「高等数学」，归根到底都是加法，因为积分就是把无穷多个数加到一起求和，而微分是积分的逆运算。从加减乘除到开根号乃至微积分，一切都源于最基本的加法。反过来，一个人会做加法，就可以做所有的计算。计算机就是一名只会做加法的同学，CPU 中只有加法器，没有什么减法器和除法器。用 88 个晶体管搭成的简单电路，就能实现四位数的加法，而 CPU 完成微积分这样的复杂运算没有任何神秘之处，靠的就是每秒计算几十亿次加法！

我们拉回来，有一道题目说：如果一个短跑运动员和乌龟赛跑，可以从数学上严格证明，运动员永远追不上乌龟，速度快的跑不过速度慢的。

怎么证明呢？你看，我们让乌龟先跑出 10 米，然后运动员往前追；等到运动员追出 10 米远，这段时间内乌龟又往前爬了几步，比如说 1 米；运动员再跑 1 米，追上乌龟曾经的背影，这时乌龟又会再往前挪一挪……以此类推，无穷尽也，虽然运动员速度比乌龟快得多，但他要跑无穷多段距离，花上无穷多的时间，所以他永远也追不上乌龟。

这个问题让当年的我一脸懵逼。根据我从小体育成绩垫底的丰富经验，我从心底里相信，运动员在几秒内就可以追上乌龟了；但另一方面，我又觉得书上说得好有道理，我竟无言以对。「运动员追不上乌龟」这种诡辩肯定错了，但它错在哪里？我拿着这个问题去问老师，老师也没说出个所以然来。

直到后来我才知道，这个诡异的问题原来就是「芝诺详谬」，它是 2500 年前古希腊哲学家芝诺的成名之作。而且，掉进芝诺大叔坑里的人不止我一个，还有古希腊的一群大牛，包括亚里士多德和阿基米德。但当我学会极限求和与微积分后，这个问题就迎刃而解了。

「芝诺详谬」到底错在哪儿呢？一句话：无限多个数求和，其结果可以是有限值。按照芝诺的逻辑，运动员要想追上乌龟，确实得跑无穷多段距离，但是每段距离都越来越短，跑过每段距离所花的时间也越来越少。如果把这无穷多段距离、无穷多个时间段加到一起，就组成了一个收敛级数，比如 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 乃至无限个数相加，它的结果并不是无穷大，而是正好等于 2。所以，芝诺的推理和我们的常识其实并无矛盾，运动员会在有限的时间、有限的距离内，从乌龟身边一跃而过。

最早研究数学的古希腊大师们，在极限问题面前不约而同地停下了脚步。他们从来没有想到，无穷多个数之和不一定是无穷大，它可能是个有限的数值。哪怕芝诺 200 年后的阿基米德已经写下无穷级数的数学公式，他也没能捅破这层窗户纸，把有限加和发展成无限加和。直到两千年后，横空出世的牛顿才以此为突破口，从此打开了无限的世界。

在牛顿的微积分里，无穷大和无穷小是家常便饭的概念。在牛顿之前的时代，人们只会计算方块和圆形的面积，多边形、梯形、三角形的面积算法都是由方块衍生而来的。现在好了，积分可以计算出任何不规则形状的面积，它的原理是把这个几何形状切成无限多条细丝，这根丝的面积就用长乘宽的办法算出，然后把无穷多个面积无穷小的细丝加到一起，就能算出总面积。有了无穷和极限的概念，数学向前迈进了一大步。

现在有人怀疑，其实牛顿可能早就发现了微积分，但他故意不告诉别人，留作自己的独门秘器。直到他的好基友哈雷找上门来，请他证明行星的轨道是椭圆，又用尽了种种妙计，才说服牛顿发表他的证明。三年后牛顿出版了一本书，用他的微积分明白无误地证明了，在万有引力的作用下，行星的运动轨迹一定是椭圆，它的速度和周期都可以精确算出。于是哈雷意识到，古代曾多次观测到的彗星其实是同一颗，它绕太阳转一圈的周期是 75 年。1758 年，哈雷早已离世，而那颗彗星又如期降临地球，于是人们把它称为「哈雷彗星」。哈雷彗星的运动轨道，也许是微积分数学的第一个应用。

现在我们提到哈雷，常常误以为他是彗星发现者，其实他带给世界最大的贡献，是自掏腰包赞助牛顿出版了这本书：《自然哲学的数学原理》。这本书，让牛顿同时被数学和物理两大学科奉为祖师爷。可以毫不夸张地说，如果牛顿没有把他的三定律和微积分公之于众，我们的大学专业将只剩下文科，我们赖以为生的现代科技将荡然无存。

人们最初发明数学，是为了把它用做计算的工具。结果，数学挣脱了人类的控制，越来越多的奇怪数字不请自来。在古人看来，这些数字毫无用处且不可理喻，但是数学家们最后又不得不把它们发明出来。

这样的奇葩数字有哪些呢？比如说，0。任何人天生就知道 1+1=2 的常识，然而直到 2000 年前，印度数学家才发明了「0」的概念。在此之前，大家觉得 0 是毫无必要的。如果我手上一只苹果都没有，就说「我没拿苹果」不就行了，谁会说「我有 0 只苹果」？就连数字中用来表示进位的 0，他们都不愿使用，2019 就写成 219，至于到底是哪种意思，就靠读者联系上下文来理解了。而负数在他们看来更是不可理喻，谁能说出「-3 只绵羊」代表什么呢？

用了上千年的时间，人们总算接受了 0 和负数的概念，知道「0 只绵羊」表示羊都被灰太狼叼走了，「-3 只绵羊」是欠了隔壁老王 3 只羊，「1/4 只绵羊」是一条羊腿。然而，更奇葩的数字又出现了：有一种数字既不是整数，也无法写成整数相除的分数形式。

2500 年前，意大利人毕达哥拉斯发现，直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边的平方。这在中国叫「勾股定理」，「勾三股四弦五」说的就是勾股定理的一种特例，即直角边长分别是 3 和 4 ，斜边长为 5。可是，如果直角边长是 5 和 6，斜边长就不再是整数，而是 61 的平方根。毕达哥拉斯的学生希帕索斯证明了，这种带根号的数字既不是整数，也不是分数，我们现在叫它「无理数」。然而，这位希同学的发现却让毕老师如临大敌，因为他相信世界是由整数构成的，如果整数还不够，还有整除相除所形成的分数。既不是整数、也不是分数的混账东西算啥玩意儿？来人啊，给我把这个大逆不道之徒丢进海里喂鱼！第一个发现无理数的希帕索斯，就这样被他的老师和同学残忍杀害了。

历史就是这么讽刺：毕达哥拉斯不相信无理数，结果，他自己发现的勾股定理却把无理数活生生放在他面前。只要画出一个直角边长是 5 和 6 的直角三角形，就诞生了一条长度为无理数的斜边。同样，虚数也曾经是数学家的弃儿。虚数是平方为负的数字，虚数 i 等于 -1 的平方根。16 世纪的数学家在求解三次方程的时候发现，只有承认根号 -1 是存在的，三次方程的通解才有意义，否则就变成无解了。就这样，人们不得不又一次妥协，为了解方程方便，就暂且承认这货存在吧，不过得管它叫虚数——虚构的数。

谁也没想到，400 年后，这种「虚构的数」竟然实实在在派上了大用场。量子力学的每一个方程中都含有虚数，因为只有它，才能表示粒子的概率波以不同相位组成的叠加态，这些状态之间以一种不可思议的方式相互干涉影响。有了虚数作为数学基石，「薛定谔的猫」「量子加密通信」「量子计算机」这些现代黑科技才能应运而生。

向那些疯狂的数字致敬 Here’s to the crazy numbers:

它们特立独行，它们制造麻烦 The misfits, the rebels, the troublemakers.

它们不喜欢规则，也不安于现状 They are not fond of rules, and have no respect of status quo.

它们被诋毁、被漠视 They were opposed, ignored, vilified.

它们不顾重重阻碍，推动人类向前 Despite obstacles, they push human race forward.

让我们以全新的视角看待数学 They make us see things differently.

它们是别人眼中的疯子 Some may see them as the crazy numbers.

却是数学家眼中的天才 We see genius.

因为 正是这些看上去最异想天开的数字 Because the numbers who are crazy enough to be in the imaginary world

才真正改变了世界 have changed the real one.

虚数的出现，一下子拓宽了数学世界的疆域。如果说整数、分数、无理数组成的实数世界是一维的直线，那么虚数世界就是二维的平面。自然会有人想到：既然数字可以是二维的，那么，它也可以是三维的吗？

这就是 19 世纪数学家汉密尔顿耗尽一生心血试图解答的问题。汉密尔顿是个如假包换的天才，十岁学遍了所有欧洲语言，本科没毕业就被任命为爱尔兰皇家天文学家，业余时间还喜欢写诗。然而，他花了十几年时间，也没能找到这种三维的数字：「三元数」。所有的努力永远在同一个问题面前撞得粉碎：无论他怎样定义三元数的运算规则，都没法定义它的除法。直到命中注定的一天，哈密尔顿终于发现，三元数根本不可能存在，解决问题的唯一办法在于把维度再增加一个，变成四元数。

四元数在实数维度以外还有 3 个维度，分别叫作 i、j、k。比如，一个典型的四元数是这样的：1 + 2i + 3j + 4k。别看它长得奇怪，任意两个四元数之间，都可以进行加减乘除四则运算。在数学意义上，四元数的逻辑完全成立，问题是它有什么用？哈密尔顿追寻三元数的目的，是用它表示三维空间，结果却发现三元数不存在，那么四元数代表什么呢？四维空间吗？这多出来的第四维又是什么呢？

直到 50 年后爱因斯坦创立相对论，人们才终于明白，为什么空间必须是四维的，因为时间也是空间不可分割的一部分！物体在空间中的高速运动，会导致时间变慢的效应，时间与空间两者是此消彼长的关系。数学以一种令人惊叹的方式，预言了真实的宇宙。

当我们算出越来越精确的数字，为了科技的进步欢欣鼓舞时，你有没有想过，数学只是人类脑中的虚构概念，但它竟然和宇宙规律惊人地吻合？！在现代物理学中，数学和物理两个世界的密切程度已经无法用「巧合」来形容，人们甚至可以根据数学公式，预言尚未发现的自然规律。狄拉克用他的电子方程预言的正电子，爱因斯坦用相对论预言的引力波，量子力学标准模型预言的「上帝粒子」，现在已都被实验证实。在验证相对论「引力扭曲时空」的实验前夕，有记者问爱因斯坦：万一实验结果和你的理论不符，你会作何感想？老爱用一种很酷的姿势回答：「如果是这样，我会为上帝惋惜，他居然不懂得使用如此优美的数学！」。

数学，这项人类大脑的极限运动，正在攀登更险峻的高峰，企图一窥宇宙的全貌。在四元数之后人们发现，所有数字只有一维的实数、二维的虚数，以及四元数和八元数四种形式，其它维数无法进行加减乘除等运算。虚数用于量子力学，四元数用于相对论，那么八元数会对应更深刻、更本质的宇宙规律吗？虽然还在探索的途中，但越来越多的人相信，宇宙的所有秘密都可以从这种基于八元数的新理论中推演出来，包括现有的相对论和粒子标准模型。只因为，这实在是一种「优美」的数学。

正如爱因斯坦所说：宇宙最无法理解的地方，就是它居然是可以被理解的。而它被人类理解的方式，正是数学。为何现实与数学如此密不可分？也许是因为，这个看似复杂的宇宙和数学一样，都是从最基本的规则发展演化而来，就像亿万颗平淡无奇的水分子排列在一起，最终形成波澜壮阔的浪花。大音希声，大象无形。在无言的宇宙面前，数学家看到的是大道至简的自然之力。他们放下世俗的名利投身数学研究，就像极限运动者放下生死，微笑着迈向巍峨的山峰和滔天的巨浪，只为站在无人能及之处一览这绝美的风光，只为面对宇宙说出一句由衷的赞叹：

「Isn’t that beautiful?」

IURT组织 GSEIC集体

综合撰写